第5期 张雪龄等：考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 ·571· 其中，r、z、p、P、广、Ufk和K分别 压缩系数ε作为摄动的小参量，将密度p、P、U、V、山 有量纲的径向坐标、轴向坐标、电偶层长度、密度、压 和仙分别展开成零阶量和一阶小参量，分别对涡函 力、轴向速度、径向速度、固壁作用力、固壁作用力系 数和流函数的控制方程求零阶和一阶摄动解，通过 数和可压缩系数，rp、P、V、Ufk和K分别是量 求得的涡函数和流函数求相应的速度和压力的解 纲一的径向坐标、轴向坐标、密度、压力、轴向速度、 析解. 径向速度、固壁作用力、固壁作用力系数和可压缩 2.1零阶摄动解 系数. 零阶涡流函数的控制方程： 壁面边界条件为： U0)-￥0=0 m]+2- 0(1,z）=V(1,z）=0,0≤z≤1. (5) 进出口边界条件为： (12) P(0,0)=1,P(0,1)=0. (6) 式(3)和(4)通过流函数U=1驰和V= 是小+ie=wr 02 (13) rp dz -1业以及涡函数u=ad业-'来表达，分别得 零阶上的边界条件： rp ar az ar 8x兰=8.+是+是0+ 40,=70）=0,业1,9)=4h,（1,=0, ar ]-(-￥)， ,1,,1,）=d1,,0≤≤1： (7) dr2 P。(0,0)=1:P。(0,1)=0 (14) 8×-m)+含知品Iw+ r or 其解为 出]-a(￥-) (8) =4,9=7-2(1-)%=21-), 将式(7)对z微分，式(8)对r微分后将两式相减，得 U,=0,p=1-8)+空 (15~19) 到涡量传输方程： ((o)）+a2= 2.2一阶摄动解法 ar r ar de2 一阶摄动的涡流函数控制方程： 密器》- 2o小+： (u是+v)+(u+v)- az/ar\ar 2ae1-[出+4小 (20) 兴+v)小 av (9) dz dr r是e,)]+a= de? 两个流函数代入到涡函数。=-'中得到流 ar ai+nw-要) (21) 函数的传输方程： )+要-e+(eu出-出 一 阶上的边界条件为： 4(0,）=0,0,0,)=0(1,）=1）=0, (10) ar 流函数和涡函数的边界条件为： w,1,9）=(1,-P,0≤s1: (0》=7u0）=01,)=w1,)=0, dr P1(0,0)=1;P(0,1)=0. (22) p(1,)a(1,）=8(1,),0≤≤1.(11) 其解为： ar2 1 2求解过程 =-7aRer+a 12aRers 8 akert 1 (23) 采用正则摄动法来求解上述方程组，选取微可 se)2第 5 期 张雪龄等: 考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 其中，r * 、z * 、λ* 、ρ * 、P* 、V* 、U* 、f * f-w、k* 和 κ 分别 有量纲的径向坐标、轴向坐标、电偶层长度、密度、压 力、轴向速度、径向速度、固壁作用力、固壁作用力系 数和可压缩系数，r、z、ρ、P、V、U、ff-w、k 和 κ 分别是量 纲一的径向坐标、轴向坐标、密度、压力、轴向速度、 径向速度、固壁作用力、固壁作用力系数和可压缩 系数． 壁面边界条件为: U( 0，z) = V r ( 0，z) = 0， U( 1，z) = V( 1，z) = 0，0≤z≤1． ( 5) 进出口边界条件为: P( 0，0) = 1，P( 0，1) = 0． ( 6) 式( 3 ) 和 ( 4 ) 通 过 流 函 数 U = 1 rρ ψ z 和 V = － 1 rρ ψ r 以及涡函数 ω = α2 U z － V r 来表达，分别得 8 × P r = 8ρff-w + α2 ω z + 4 3 α2   [ r 1 r  r ( rU) + V  ] z － α3 Ｒe ( 1 r ψ z U r － 1 r ψ r U  ) z ， ( 7) 8 × P z = － 1 r  r ( rw) + 4 3 α2   [ z 1 r  r ( rU) + V  ] z － αＲe ( 1 r ψ z V r － 1 r ψ r V  ) z ． ( 8) 将式( 7) 对 z 微分，式( 8) 对 r 微分后将两式相减，得 到涡量传输方程:   ( r 1 r  r ( rω ) ) + α2  2 ω z 2 = αＲe ( 1 r ψ z ω r － 1 r ψ r ω z － ω r 2 ψ  ) z － αＲe [ ω ( U ρ r + V ρ  ) z + ρ  ( r U V r + V V  ) z － α2 ρ  ( z U U r + V U  ) ] z ． ( 9) 两个流函数代入到涡函数 ω = α2 U z － V r 中得到流 函数的传输方程: r   ( r 1 r ψ  ) r + α2  2 ψ z = ρωr + ( α2 U ρ z － V ρ  ) r r． ( 10) 流函数和涡函数的边界条件为: ψ( 0，z) = 1 2 ，ω( 0，z) = 0，ψ r ( 1，z) = ψ( 1，z) = 0， ρ( 1，z) ω( 1，z) =  2 ψ r 2 ( 1，z) ，0≤z≤1． ( 11) 2 求解过程 采用正则摄动法来求解上述方程组，选取微可 压缩系数 ε 作为摄动的小参量，将密度 ρ、P、U、V、ψ 和 ω 分别展开成零阶量和一阶小参量，分别对涡函 数和流函数的控制方程求零阶和一阶摄动解，通过 求得的涡函数和流函数求相应的速度和压力的解 析解． 2. 1 零阶摄动解 零阶涡流函数的控制方程:   [ r 1 r  r ( rω0 ] ) + α2  2 ω0 z 2 = [ aＲe   ( r ω0 ) r φ0 z － φ0 r  ( ω0 ) r z ] ， ( 12) r   [ r 1 r  r ( φ0 ] ) + α2  2 φ0 z 2 = ω0 r． ( 13) 零阶上的边界条件: ψ0 ( 0，z) = 1 2 ，ω0 ( 0，z) = 0， ψ0 r ( 1，z) = ψ0 ( 1，z) = 0， ρ0 ( 1，z) ω0 ( 1，z) =  2 ψ0 r 2 ( 1，z) ，0≤z≤1; P0 ( 0，0) = 1; P0 ( 0，1) = 0． ( 14) 其解为 ω0 = 4r，φ0 = 1 2 － r ( 2 1 － r 2 ) 2 ，V0 = 2( 1 － r 2 ) ， U0 = 0，p0 = ( 1 － z) + kr2 2 ． ( 15 ～ 19) 2. 2 一阶摄动解法 一阶摄动的涡流函数控制方程:   [ r 1 r  r ( rω1 ] ) + α2  2 ω1 z 2 = 2αＲe( 1 － r 2 [ ) ω1 z + 4 ] r ， ( 20) r   [ r 1 r  r ( φ1 ] ) + α2  2 φ1 z 2 = ( r ω1 + p0ω0 － V0 p0  ) r ． ( 21) 一阶上的边界条件为: ψ1 ( 0，z) = 0，ω1 ( 0，z) = 0， ψ1 r ( 1，z) = ψ1 ( 1，z) = 0， ω1 ( 1，z) =  2 ψ1 r 2 ( 1，z) － ω0P0，0≤z≤1; P1 ( 0，0) = 1; P1 ( 0，1) = 0． ( 22) 其解为: φ1 = － 1 72αＲer8 + 1 12αＲer6 － 1 8 aＲer4 + 1 18aＲer2 + k 6 r 2 ( 1 － r 2 ) 2 ， ( 23) · 175 ·