高等数学教案 第十二章无穷级数 收敛.例如，级数 (1-1)+(1-1)+.收敛于零，但级数1-1+1-1+.却是发散的. 推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散， 性质5级数收敛的必要条件)如果24，收敛，则它的一般项，趋于，即mW=0. n=1 (性质5的等价命题：若1imu.≠0，则级数∑4n发散) 7= 证设级数∑4n的部分和为sn,且lim s=S,则 打=1 n-0∞ lim un lim (s-s1)=lim s-lim S-1=s-s=0. →0 力→00 7→0 应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4证明调和级数 1=1+++…+1+ n=]n 23 是发散的. 证假若级数头收敛且其和为55是它的部分和。 n=in 显然有lim s=s及limS2m=S.于是lim(s2m-Ssn)=0 n-→0 但另一方面， …叶分+六+ 2n 2n2n 2n2' 故1im(5n-S,)≠0，矛盾.这矛盾说明级数1必定发散 in 高等数学课程组