高等数学教案 第十二章无穷级数 lim s lim (1-- 1)=1, n-0 n+1 所以这级数收敛，它的和是1. 三、收敛级数的基本性质 性质1如果级数∑4n收敛于和5，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数∑k,也 h=1 M=1 收敛且其和为k:.如果级数立，收敛于和，则级数，也收敛，且其和为ks) n=1 =1 这是因为，设∑4n与∑kn的部分和分别为sn与m则 n=】 =1 lim on lim (ku+kuz+...kun)=k lim (u +uz+...un)=k lim s =ks 7→00 7→00 7→00 7→00 这表明级数∑kn收敛，且和为ks. n=l 9 性质2如果级数∑n、】 ,分别收敛于和5、G则级数∑u,士，)也收敛，且其和 =1 n=1 为s±o. 这是因为，如果，、元，、，士y)的部分和分别为s、、则 n= = lim=lim[(u1±)+(u2±2)+…+(un±yn)] n-→ n-o =lim[(41+u2+…+4n)士(4+y2+…+yn)] =lim(Sn±on)=s±o. n-+00 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 比如，级数，1+1+1 -223+34+…+ 、+…是收敛的， n(n+1 级数100+22名写名+…+ 十…也是收敛的， (n+1) 级数、 1 3445+…+ 1 、+…也是收敛的. n(n+1 性质4如果级数∑4n收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和 n=1 不变.应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也 高等数学课程组