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Vol.29 Suppl.2 刘宏岚等：多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 .173. 子都只是在一定范围内适用， 命题“p:张三明年12月21日中午将在石家 命题包括原子命题和复合命题，不能被分解成 庄”与命题“g:李四明年12月21日中午将在石家 更简单的陈述句的命题称为原子命题，由原子命题 庄”之间是相互独立的：v(p∧q)=v(p)Xv(q) 通过联结词联结而成的命题称为复合命题可].下面 2.1.1原子命题之间的关系 分别讨论原子命题之间的相互关系和复合命题之间 从语义角度说，原子命题之间同概率论中事件 的相互关系 间的关系一样，存在两类共四种不同的关系：独立关 2.1原子命题的相关性与逻辑运算 系以及包含、不相交、相交而不包含等非独立关 原子命题本身是有内部结构的，即由谓词和客 系[-]，可通过命题的结构来描述命题之间的关系. 体组成，命题的内部结构决定了命题的真值和命题 定义1：称定义在标准概率空间(2，X,v)上的 之间的关系，在数理逻辑中，谓词用大写英文字母 原子命题的集合P(X)={P(x)lx(X},X=2”为 P,Q,R等表示，真值用v表示， 关系命题集合，其中P(x)为谓词.同一关系命题集 例1.设谓词P(x)表示“张三明年12月21日 合内的命题之间是非独立关系， 中午将在x地区”，客体变量x取值为石家庄、河 定义2（非独立关系定义）：设P(X)=P(x) 北、辽宁或中国等等.假设到了明年12月21日中 x∈X{,X=20为一关系命题集合，任意的命题 午，张三一定是在中国的某一个城市，令={中国 P(A),P(B)∈P(X),P(A)与P(B)之间是非独 所有的城市{，X=2={0,{北京，1石家庄{，…， 立的，具体关系定义如下： {台北，河北={河北省城市}，，海南=海南省城 P(A)三P(B)被定义为A三B(包含关系)； 市}，东北={东北地区城市}，，沿海={沿海城 P(A)与P(B)不相交被定义为A∩B=O(不 市}，…，中国=中国的城市}，则X就是客体变量 相交关系)； x的取值范围即客体域 P(A)=P(B)充分必要条件是A=B(相等关 说明：对于陈述句“张三明年12月21日中午将 系) 在（河北）”，从概率论的角度，它就是概率空间（Ω， 显然，若P(A)=P(B),则v(P(A)=u(P X,N)上的随机事件，从逻辑学的角度，就是真值v (B)):但反过来，若v(P(A)=(P(B)),不一定 ∈[0,1]的一个命题，即表达判断的、有惟一确定真 有P(A)=P(B),如例1中，若张三是等概率的出 值的陈述句 现在各个城市，则v(P(北京)=v(P(上海))，但 令A表示石家庄(=石家庄市)，B表示河北 P(北京)≠P(上海)，因为非确定客体“北京”≠“上 (={河北省城市)，C表示辽宁(={辽宁省城 海” 市})，D表示中国(=={中国的城市})，若张三 例2，在例1中，令E表示沿海地区(={沿海 明年12月21日中午就在国内，则有真值v(P(D) 地区城市)，命题P(A)、P(B)和P(E)之间的关 =1.若张三是等概率地出现在各个城市，可以计算 系， 真值(PA)=(PB)=(P(C) 相交而不包含：P(B)与P(E),B∩E≠O: 不相交：P(A)与P(E),A∩E=O: =,共中A表示集合A中元素的个数 包含：P(B)包含P(A),A三B. 四个命题P(A)、P(B)、P(C)和P(D)是相互 属于同一个关系命题集合的各命题之间，真值 关联的，如果命题P(A)为真，则P(B)、P(D)为 的取值通常是有相互影响的，上例中，当命题P(石 真，P(C)为假，若命题P(B)为真，则P(C)为假， 家庄)为真时，很明显命题P(河北)为真，反过来不 P(D)为真，P(A)可能为真，也可能为假， 一定成立，但大多数情况下，任两命题的真值的取 考虑到命题之间的关系，有 值是无关的.如命题“张三明年12月21日中午将 v(P(A)VP(B))=max(v(P(A)),v(P 在北京”、“李四明年12月21日中午将在北京”与 (B))=v(P(B),(A=B); “王五2008年奥运会将拿金牌.”相互之间真值取 v(P(A)A P(B))=min(v(P(A)),v (P 值无影响， (B))=v(P(A)),(A三B); 定义3（独立命题）：设p、q是两个命题，如果具 v(P(B)VP(C))=v(P(B))+v(P(C)), 有等式v(p八q)=v(p)Xv(q),则称命题p、q相 (B∩C=O); 互独立，容易证明： (P(B)AP(C))=0,(BC=). ①不属于同一关系命题集合的命题相互独立：子都只是在一定范围内适用． 命题包括原子命题和复合命题不能被分解成 更简单的陈述句的命题称为原子命题由原子命题 通过联结词联结而成的命题称为复合命题［5］．下面 分别讨论原子命题之间的相互关系和复合命题之间 的相互关系． 2∙1 原子命题的相关性与逻辑运算 原子命题本身是有内部结构的即由谓词和客 体组成．命题的内部结构决定了命题的真值和命题 之间的关系．在数理逻辑中谓词用大写英文字母 PQR 等表示真值用 v 表示． 例1．设谓词 P（ x）表示“张三明年12月21日 中午将在 x 地区”客体变量 x 取值为石家庄、河 北、辽宁或中国等等．假设到了明年12月21日中 午张三一定是在中国的某一个城市令 Ω＝｛中国 所有的城市｝X＝2Ω＝｛∅｛北京｝｛石家庄｝… ｛台北｝河北＝｛河北省城市｝…海南＝｛海南省城 市｝东北＝｛东北地区城市｝…沿海＝｛沿海城 市｝…中国＝｛中国的城市｝｝则 X 就是客体变量 x 的取值范围即客体域． 说明：对于陈述句“张三明年12月21日中午将 在（河北）”从概率论的角度它就是概率空间（Ω XN）上的随机事件从逻辑学的角度就是真值 v ∈［01］的一个命题即表达判断的、有惟一确定真 值的陈述句． 令 A 表示石家庄（＝｛石家庄市｝）B 表示河北 （＝｛河北省城市｝）C 表示辽宁（＝｛辽宁省城 市｝）D 表示中国（＝Ω＝｛中国的城市｝）．若张三 明年12月21日中午就在国内则有真值 v （P（ D）） ＝1．若张三是等概率地出现在各个城市可以计算 真值 v （P（ A））＝ ｜A｜ ｜D｜ v （P（B））＝ ｜B｜ ｜D｜ v （P（C）） ＝ ｜C｜ ｜D｜ 其中｜A｜表示集合 A 中元素的个数． 四个命题 P（ A）、P（B）、P（C）和 P（ D）是相互 关联的如果命题 P（ A ）为真则 P（ B）、P（ D）为 真P（C）为假．若命题 P（ B）为真则 P（ C）为假 P（ D）为真P（ A）可能为真也可能为假． 考虑到命题之间的关系有 v（ P（ A ）∨ P（ B））＝max （ v （ P（ A ））v （ P （B）））＝v （P（B））（ A⊆B）； v （ P （ A ）∧ P （ B））＝min （ v （ P （ A ））v （ P （B）））＝v （P（ A））（ A⊆B）； v（P（ B）∨ P（ C））＝ v （ P（ B））＋ v （ P（ C）） （B∩C＝∅）； v （P（B）∧P（C））＝0（B∩C＝∅）． 命题“ p：张三明年12月21日中午将在石家 庄”与命题“ q：李四明年12月21日中午将在石家 庄”之间是相互独立的：v （ p∧q）＝v （ p）×v （ q）． 2∙1∙1 原子命题之间的关系 从语义角度说原子命题之间同概率论中事件 间的关系一样存在两类共四种不同的关系：独立关 系以及包含、不相交、相交而不包含等非独立关 系［6—7］可通过命题的结构来描述命题之间的关系． 定义1：称定义在标准概率空间（ΩXv ）上的 原子命题的集合 P（ X）＝｛P（ x）｜x（ X｝X＝2Ω 为 关系命题集合其中 P（ x）为谓词．同一关系命题集 合内的命题之间是非独立关系． 定义2（非独立关系定义）：设 P（ X）＝｛P（ x）｜ x∈ X｝X ＝2Ω 为一关系命题集合任意的命题 P（ A）P（B）∈ P（ X）P（ A ）与 P（ B）之间是非独 立的具体关系定义如下： P（ A）⊆P（B）被定义为 A⊆B（包含关系）； P（ A）与 P（B）不相交被定义为 A ∩B＝∅（不 相交关系）； P（ A）＝P（B）充分必要条件是 A ＝ B（相等关 系）． 显然若 P（ A ）＝ P（ B）则 v （ P（ A ））＝ v （ P （B））；但反过来若 v （P（ A ））＝ v （ P（ B））不一定 有 P（ A）＝P（B）．如例1中若张三是等概率的出 现在各个城市则 v （ P（北京））＝ v （ P（上海））但 P（北京）≠P（上海）因为非确定客体“北京”≠“上 海”． 例2．在例1中令 E 表示沿海地区（＝｛沿海 地区城市｝）命题 P（ A ）、P（ B）和 P（ E）之间的关 系 相交而不包含：P（B）与 P（ E）B∩ E≠∅； 不相交：P（ A）与 P（ E）A∩ E＝∅； 包含：P（B）包含 P（ A）A⊆B． 属于同一个关系命题集合的各命题之间真值 的取值通常是有相互影响的．上例中当命题 P（石 家庄）为真时很明显命题 P（河北）为真反过来不 一定成立．但大多数情况下任两命题的真值的取 值是无关的．如命题“张三明年12月21日中午将 在北京”、“李四明年12月21日中午将在北京”与 “王五2008年奥运会将拿金牌．”相互之间真值取 值无影响． 定义3（独立命题）：设 p、q 是两个命题如果具 有等式 v （ p∧q）＝v （ p）×v （ q）则称命题 p、q 相 互独立．容易证明： ①不属于同一关系命题集合的命题相互独立； Vol．29Suppl．2 刘宏岚等： 多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 ·173·