.174 北京科技大学学报 2007年增刊2 ②若命题p与q相互独立，则p与一q、一p与 v(P(0))=0: q、一p与q也相互独立. P(A)VP(B)=P(AUB),(P(AUB))= 例3.设谓词Q(x)表示“x明年12月21日中 (P(A))+v(P(B)). 午将在北京”，客体变量x取值为张三、李四等，即 如例1中，(P(石家庄)AP(北京)=0，与事 x∈{人{.令a=张三，b=李四，则Q(a)与Q(b) 实相符，张三不可能同时出现在两个地区， 相互独立 (2)P(A)与P(B)包含（即P(A)三P(B)或 在该例中，令Y=人}为客体域，需要说明的 P(B)三P(A))时： 是，虽然Y和例1~2中的X都为客体域，但Y是 P(A)AP(B)=P(A∩B), 一个普通的集合，而X是全集2的幂集，所以同一 (P(AB))=min(v(P(A)),v(P(B))); 关系命题集合内的命题是相互关联的 P(A)VP(B)=P(AUB), 2.1.2原子命题之间的关系与逻辑运算 v(P(AUB))=max(v(P(A)),v(P(B))). 在多值逻辑中，命题之间的逻辑运算是由命题 如例1中的P(石家庄)三P(河北)，运算结果 而不是真值决定的，命题之间的关系不同，逻辑运 与事实相符，这组公式就是Lukasiewicz多值系统 算的具体的数值计算公式便不同.下面根据是否独 和Zadeh系统所定义的逻辑运算（算子），它们只有 立（即是否属于同一个关系命题集合），对原子命题 对具有包含关系的两命题才适用，其它情况则不适 之间的逻辑运算分别进行详细的讨论 用，如v(P(石家庄)AP(北京)=0≠min(v(P(石 定义4（非独立命题的逻辑运算）：关系命题集 家庄))，u(P(北京))，v(P(河北)AP(沿海地 合P(X)={P(x)lx∈X,X=20中，任意的命题 区)=v(P(河北省的沿海城市))≠min(v(P(河 P(A)与P(B)之间的逻辑运算如下. 北))，(P(沿海地区)) 合取运算： (3)对于蕴涵联结词“→”： P(A)AP(B)=P(A∩B), 当P(A)三P(B)即A三B时，P(A)→P(B) (P(A)AP(B))=v(P(AB)) =P(冖AUB)=P(2),v(P(2))=1.令A=石 析取运算： 家庄，B=河北，也就是例1~2中讨论的{石家庄} P(A)V P(B)=P(AUB), 三{河北省城市}的情况，当命题P(石家庄)为真时， (P(A)V P(B))=v(P(AUB)) P(河北)为真，与事实相符. 取反运算： 当A=0时，P(A)→P(B)=P(AUB)= 一P(A)=P(A),(P(A)+(P(A)= P(D),v(P(n)=1.即二值逻辑中“善意的假 1,一个命题有且仅有一个反命题，命题与其反命题 设”，当前件为假(u(P(A)=O)时，后件的真值无 属于同一个关系命题集合， 论是多少，v(P(A)→P(B)=1,与经典二值逻辑 蕴涵运算： 相容 P(A)P(B)=P(A)V P(B)=P(AU 定义5（独立命题的逻辑运算）：不属于同一关 B), 系命题集合的独立命题p与q之间的逻辑运算定 (P(A)P(B))=v(P(AUB)), 义如下， 且有u(P(0)=0,v(P(2)=1.这里u(P(A) 合取运算：v(pAq)=v(p)Xv(q) 表示命题P(A)的真值， 析取运算：v(pVq)=v(p)十v(q)一v(p)X 任取P(x1),P(x2),…,P(xn)∈P(X), (q) f(P(x1),P(x2),…,P(xn)是由V,A,一等构成 取反运算：定义同定义4，一个命题有且仅有一 的逻辑复合运算，∫是相应的经典集合运算U,∩和 个反命题，互为否定的两个命题属于同一个关系命 一，则有， 题集合，且满足v(p)十v(一p)=1.但反过来，若 f(P(x1),P(x2),…,P(xm)=P(f(x1,x2, v(p)十v(q)=1,命题q不一定就是p的反命题， ,xn),即通过客体的集合运算，实现非独立命题 只能说v(q)=v(p) 的逻辑运算 蕴涵运算：v(p→q)=(口pVq)=1((p)+ 下面讨论一些特殊情况的运算公式 v(p)xv(q). (1)P(A)与P(B)不相交(A∩B=D)时： 2.1.3逻辑运算性质 P(A)A P(B)=P(AB)=P(O) 定理1原子命题之间的逻辑运算满足所有的②若命题 p 与 q 相互独立‚则 p 与 q、 p 与 q、 p 与 q 也相互独立． 例3．设谓词 Q（ x）表示“ x 明年12月21日中 午将在北京”‚客体变量 x 取值为张三、李四等‚即 x∈｛人｝．令 a＝张三‚b＝李四‚则 Q（ a）与 Q（ b） 相互独立． 在该例中‚令 Y ＝｛人｝为客体域‚需要说明的 是‚虽然 Y 和例1～2中的 X 都为客体域‚但 Y 是 一个普通的集合‚而 X 是全集Ω的幂集‚所以同一 关系命题集合内的命题是相互关联的． 2∙1∙2 原子命题之间的关系与逻辑运算 在多值逻辑中‚命题之间的逻辑运算是由命题 而不是真值决定的．命题之间的关系不同‚逻辑运 算的具体的数值计算公式便不同．下面根据是否独 立 （即是否属于同一个关系命题集合）‚对原子命题 之间的逻辑运算分别进行详细的讨论． 定义4（非独立命题的逻辑运算）：关系命题集 合 P（ X）＝｛P（ x）｜x∈X｝‚X＝2Ω 中‚任意的命题 P（ A）与 P（B）之间的逻辑运算如下． 合取运算： P（ A）∧P（B）＝P（ A∩B）‚ v （P（ A）∧P（B））＝v （P（ A∩B））． 析取运算： P（ A）∨P（B）＝P（ A∪B）‚ v （P（ A）∨P（B））＝v （P（ A∪B））． 取反运算： P（ A）＝P（ A）‚v （P（ A））＋v （P（ A））＝ 1‚一个命题有且仅有一个反命题‚命题与其反命题 属于同一个关系命题集合． 蕴涵运算： P（ A）→P（B）＝ P（ A ）∨ P（ B）＝ P（ A ∪ B）‚ v （P（ A）→P（B））＝v （P（ A∪B））‚ 且有 v （P（∅））＝0‚v （P（Ω））＝1．这里 v （ P（ A ）） 表示命题 P（ A）的真值． 任取 P （ x1）‚P （ x2）‚…‚P （ x n ） ∈ P （ X ）‚ f （P（ x1）‚P（ x2）‚…‚P（ x n））是由∨‚∧‚ 等构成 的逻辑复合运算‚f 是相应的经典集合运算∪‚∩和 ‚则有‚ f （P（ x1）‚P（ x2）‚…‚P（ x n））＝ P（ f （ x1‚x2‚ …‚x n））‚即通过客体的集合运算‚实现非独立命题 的逻辑运算． 下面讨论一些特殊情况的运算公式． （1） P（ A）与 P（B）不相交（ A∩B＝∅）时： P （ A ） ∧ P （ B ） ＝ P （ A ∩ B ） ＝ P （ ∅）‚ v （P（∅））＝0； P（ A ）∨ P（ B）＝ P（ A ∪ B）‚v （ P（ A ∪ B））＝ v （P（ A））＋v （P（B））． 如例1中‚v （P（石家庄）∧P（北京））＝0‚与事 实相符‚张三不可能同时出现在两个地区． （2） P（ A ）与 P（ B）包含（即 P（ A ）⊆ P（ B）或 P（B）⊆P（ A））时： P（ A）∧P（B）＝P（ A∩B）‚ v （P（ A∩B））＝min（ v （P（ A））‚v （P（B）））； P（ A）∨P（B）＝P（ A∪B）‚ v （P（ A∪B））＝max（ v （P（ A））‚v （P（B）））． 如例1中的 P（石家庄）⊆ P（河北）‚运算结果 与事实相符．这组公式就是 ／Lukasiewicz 多值系统 和 Zadeh 系统所定义的逻辑运算（算子）‚它们只有 对具有包含关系的两命题才适用‚其它情况则不适 用‚如 v （P（石家庄）∧P（北京））＝0≠min（ v （P（石 家庄））‚v （ P（北京）））‚v （ P（河北）∧ P（沿海地 区））＝ v （ P（河北省的沿海城市））≠min（ v （ P（河 北））‚v （P（沿海地区）））． （3） 对于蕴涵联结词“→”： 当 P（ A ）⊆ P（ B）即 A ⊆ B 时‚P（ A ）→ P（ B） ＝ P（ A∪B）＝P（Ω）‚v （ P（Ω））＝1．令 A ＝石 家庄‚B＝河北‚也就是例1～2中讨论的｛石家庄｝ ⊆｛河北省城市｝的情况‚当命题 P（石家庄）为真时‚ P（河北）为真‚与事实相符． 当 A＝∅时‚P（ A）→ P（ B）＝ P（ A ∪ B）＝ P（Ω）‚v （ P（Ω））＝1．即二值逻辑中“善意的假 设”‚当前件为假（ v （ P（ A ））＝0）时‚后件的真值无 论是多少‚v （P（ A ）→ P（ B））＝1‚与经典二值逻辑 相容． 定义5（独立命题的逻辑运算）：不属于同一关 系命题集合的独立命题 p 与 q 之间的逻辑运算定 义如下． 合取运算：v （ p∧q）＝v （ p）×v （ q）． 析取运算：v （ p∨q）＝v （ p）＋ v （ q）— v （ p）× v （ q）． 取反运算：定义同定义4‚一个命题有且仅有一 个反命题‚互为否定的两个命题属于同一个关系命 题集合‚且满足 v （ p）＋ v （ p）＝1．但反过来‚若 v （ p）＋v （ q）＝1‚命题 q 不一定就是 p 的反命题‚ 只能说 v （ q）＝v （ p）． 蕴涵运算：v （ p→q）＝v （ p∨q）＝1（ v （ p）＋ v （ p）×v （ q）． 2∙1∙3 逻辑运算性质 定理1 原子命题之间的逻辑运算满足所有的 ·174· 北 京 科 技 大 学 学 报 2007年 增刊2