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Vol.29 Suppl.2 刘宏岚等：多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 .175. 等价定律：对合律，幂等律，结合律，交换律，分配律， 命题，联结词的定义如下[6,8]， 吸收律，德·摩根律，矛盾律，排中律，同一律，零律， v(一p)=1一v(p),一个命题有且仅有一个反 蕴涵等值式等， 命题； 证明：根据定义4，非独立命题，由于将命题的 v(pAq)=v(p)-v(pA-q)=v(q)-v( 逻辑运算转换为集合运算，集合运算满足所有的等 pAg); 价定律.所以非独立命题之间的逻辑运算满足所有 v(pVq)=v(p)+v(g)-v(pAq): 的等价定律 v(pq)=v(pVq). 对于独立命题，任意的独立命题P(A)、Q(B) 复合命题是由原子命题、联结词和括号等组成 和R(C),分别属于关系命题集合1P(x)x∈X{、 的，复合命题之间的运算也是由它们共同决定的，而 iQ(u)u∈U}和R(z)z∈Z,有： 不是简单的由成分命题的真值决定，所以对于P、9 矛盾律：P(A)A一P(A)=P(A)AP(A)= 的二元运算不能明确地给出关于v(p),v(q)的函 P(0),(P(A)AP(A))=u(P(O)=0. 数.如v(pAq)=f(u(p),v(q)这样统一的函 排中律：P(A)V一P(A)=P(A)VP(A)= 数是不存在的，函数的形式由P,q的组成结构决 P(2),u(P(A)V-P(A)=u(P(n)=1. 定 联词转换律（蕴涵等值式）： 3命题公式与真值函数 (P(A)-Q(B))=vP(A)VQ(B)). 分配律：当P(A),Q(B),R(C)相互独立时， 表示命题的符号称为命题标示符，如卫，q,T (P(A)V(Q(B)AR(C)))=v((P(A)VQ 等，表示确定命题的标示符称为命题常量，如p=P (B))A(P(A)VR(C)))=v(P(A))+(Q(B)) (A),表示任意命题的标示符称为命题变量[5，-10] Xv(R(C))-v(P(A))Xv(Q(B))Xv(R(C)), 前面详细讨论了原子命题、复合命题等命题常 (P(A)A(Q(B)VR(C)))=v((P(A)AQ 量的逻辑运算及性质，下面再讨论关于命题的函数 (B))V(P(A)A R(C)))=v(P(A))Xv(Q(B)) 一命题公式的性质，为了便于讨论问题，首先需 +v(P(A))Xv(R(C))-v(P(A))Xv(Q(B)) 要明确以下一些概念， Xv(R(C)) 命题公式（合式公式或公式）：由命题变量、命题 其它情况证明略 常量、联结词、括号等以规定的格式联结起来的符号 德摩根律：当P(A)与Q(B)独立时，一P(A) 串，是关于命题的函数.设S={命题{是由所有的 与一Q(B)也独立，有 原子命题和复合命题所组成的集合，则命题公式的 (P(A)VQ(B)))=P(A)AQ 形式化描述为f:S"→S,即f(p1,p2,…,pn)∈S, (B))=1-v(P(A))-v(Q(B))+v(P(A))Xv 命题变量p:(1≤≤n)∈S,如f(p1,p2,p3)=p1 (Q(B), 八p2→p3 (P(A)AQ(B)))=v(P(A)V-0 真值函数：称g:[0,1]m→[0,1]为真值函数， (B))=1-(P(A)Xv(Q(B) 即g(x1,x2,…,xm)∈[0,1]，变量x1,x2,…,xm 双重否定律，幂等律，交换律，结合律，吸收律， ∈[0，l].如Lukasiewicz多值系统和Zadeh系统都 同一律，零律等证明略. 是以真值函数（算子）的形式给出各种联结词（逻辑 2.2复合命题的相关性与逻辑运算 运算)的定义，如冖x=1一x,xVy=max(x,y)等， 原子命题之间有独立和相交、包含等非独立关 x,y∈[0,1] 系，统称为简单相关性，若干原子命题经过有限次 命题的真值：v:S→[0,1]，即Hp∈S,v(p)∈ 的各种复合运算后形成复合命题，复合命题之间的 [0,1]. 关系较复杂，是由组成复合命题的原子命题、逻辑联 3.1二值逻辑中的命题公式与真值函数 结词以及运算的层次等决定的，称复合命题之间的 通过定义4~5容易验证，二值逻辑中的命题无 这种关系为复杂相关性.复杂相关性很难明确描 论独立与否，命题之间的逻辑运算都满足同样的公 述 式，即经典命题逻辑给出的定义： 复合命题之间的逻辑运算由命题的内部结构决 v(p)=1-v(p), 定，逻辑运算定义如下 v(pvq)=max(v(p),v(q)), 定义6（复合命题的逻辑运算）：设P、q为任意 v(pAq)=min(v(p),v(q)),等价定律：对合律幂等律结合律交换律分配律 吸收律德·摩根律矛盾律排中律同一律零律 蕴涵等值式等． 证明：根据定义4非独立命题由于将命题的 逻辑运算转换为集合运算集合运算满足所有的等 价定律．所以非独立命题之间的逻辑运算满足所有 的等价定律． 对于独立命题任意的独立命题 P（ A ）、Q（ B） 和 R（C）分别属于关系命题集合｛P（ x）｜x∈ X｝、 ｛Q（ u））｜u∈ U｝和｛R（ z ））｜z ∈Z｝有： 矛盾律：P（ A）∧ P（ A）＝P（ A）∧P（ A ）＝ P（∅）v （P（ A）∧ P（ A））＝v （P（∅））＝0． 排中律：P（ A）∨ P（ A）＝P（ A）∨P（ A ）＝ P（Ω）v （P（ A）∨ P（ A））＝v （P（Ω））＝1． 联词转换律（蕴涵等值式）： v （P（ A）→ Q（B））＝v （ P（ A）∨ Q（B））． 分配律：当 P（ A）Q（B）R（C）相互独立时 v（P（ A ）∨（ Q （ B）∧ R （ C）））＝ v （（ P（ A ）∨ Q （B））∧（P（ A）∨ R（C）））＝v （P（ A ））＋v （ Q（ B）） ×v （ R（C））—v （P（ A））×v （ Q（B））×v （ R（C）） v（P（ A ）∧（ Q （ B）∨ R （ C）））＝ v （（ P（ A ）∧ Q （B））∨（P（ A）∧ R（C）））＝v （P（ A ））×v （ Q（ B）） ＋v （P（ A））×v （ R（ C））— v （ P（ A ））× v （ Q（ B）） ×v （ R（C）） 其它情况证明略． 德·摩根律：当 P（ A）与 Q（B）独立时 P（ A ） 与 Q（B）也独立有 v（ （P（ A ）∨ Q （ B）））＝ v （ P（ A ）∧ Q （B））＝1—v （P（ A））—v （ Q（ B））＋ v （ P（ A ））× v （ Q（B）） v（ （P（ A ）∧ Q （ B）））＝ v （ P（ A ）∨ Q （B））＝1—v （P（ A））×v （ Q（B））． 双重否定律幂等律交换律结合律吸收律 同一律零律等证明略． 2∙2 复合命题的相关性与逻辑运算 原子命题之间有独立和相交、包含等非独立关 系统称为简单相关性．若干原子命题经过有限次 的各种复合运算后形成复合命题．复合命题之间的 关系较复杂是由组成复合命题的原子命题、逻辑联 结词以及运算的层次等决定的称复合命题之间的 这种关系为复杂相关性．复杂相关性很难明确描 述． 复合命题之间的逻辑运算由命题的内部结构决 定逻辑运算定义如下． 定义6（复合命题的逻辑运算）：设 p、q 为任意 命题联结词的定义如下［68］ v （ p）＝1—v （ p）一个命题有且仅有一个反 命题； v（ p∧q）＝v （ p）—v （ p∧ q）＝ v （ q）— v （ p∧q）； v （ p∨q）＝v （ p）＋v （ q）—v （ p∧q）； v （ p→q）＝v （ p∨q）． 复合命题是由原子命题、联结词和括号等组成 的复合命题之间的运算也是由它们共同决定的而 不是简单的由成分命题的真值决定所以对于 p、q 的二元运算不能明确地给出关于 v （ p）v （ q）的函 数．如 v （ p∧ q）＝ f （ v （ p）v （ q））这样统一的函 数是不存在的函数的形式由 pq 的组成结构决 定． 3 命题公式与真值函数 表示命题的符号称为命题标示符如 pqr 等．表示确定命题的标示符称为命题常量如 p＝P （ A）．表示任意命题的标示符称为命题变量［59—10］． 前面详细讨论了原子命题、复合命题等命题常 量的逻辑运算及性质下面再讨论关于命题的函数 ———命题公式的性质．为了便于讨论问题首先需 要明确以下一些概念． 命题公式（合式公式或公式）：由命题变量、命题 常量、联结词、括号等以规定的格式联结起来的符号 串是关于命题的函数．设 S＝｛命题｝是由所有的 原子命题和复合命题所组成的集合则命题公式的 形式化描述为 f：S n→ S即 f （ p1p2…p n）∈ S 命题变量 pi（1≤ i≤ n）∈ S如 f （ p1p2p3）＝ p1 ∧ p2→ p3． 真值函数：称 g：［01］ m →［01］为真值函数 即 g（ x1x2…xm ）∈［01］变量 x1x2…xm ∈［01］．如 ／Lukasiewicz 多值系统和 Zadeh 系统都 是以真值函数（算子）的形式给出各种联结词（逻辑 运算）的定义如 x＝1— xx∨y＝max（ xy）等 xy∈［01］． 命题的真值：v：S→［01］即∀ p∈ Sv （ p）∈ ［01］． 3∙1 二值逻辑中的命题公式与真值函数 通过定义4～5容易验证二值逻辑中的命题无 论独立与否命题之间的逻辑运算都满足同样的公 式即经典命题逻辑给出的定义： v （ p）＝1—v （ p） v （ p∨q）＝max（ v （ p）v （ q）） v （ p∧q）＝min（ v （ p）v （ q）） Vol．29Suppl．2 刘宏岚等： 多值逻辑中的命题相关性与逻辑运算研究 ·175·