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.176 北京科技大学学报 2007年增刊2 v(p→q)=max(1一v(p),v(q),这里的p, 中不存在如二值逻辑中那样的处处行得通的真值函 q表示任意命题，v(p),v(g)∈0,1. 数，也就不能用真值函数讨论等值演算和推理问题 这说明，在经典二值逻辑中，命题逻辑运算结果 (l)Lukasiewicz定义的A,V运算只对属于同 的真值只与命题的真值有关，而与命题自身结构以 一关系命题集合且有包含关系的两个命题成立， 及命题之间的关系无关 设S为多值逻辑系统中所有命题的集合， 设S1为二值逻辑中所有命题的集合，若在0， Lukasiewicz认为真值v:S→[0,1]是同态映射，系 1}中定义以下真值函数：7x=1-x,xVy=max 统在[0,1]上定义x=1-x,xVy=max(x,y),x (x,y),xAy=min(x,y),xy=max(1-x,y), Ay=min(x,y),x→y=min(1,l-x+y),有Vp, x,y∈{0,1，则真值：S1→{0,1}是代数系统< qEs,v(p)=v(p),v(p*q)=v(p)* S1,7,V,A,→>到<{0,1}，7，V,A,→>的同 (g),*为V,A,→等二元运算山.把命题之间的逻 态，即Hp,q∈S1,有v(一p)=一v(p),v(p*q) 辑运算定义成命题真值的运算，直接通过真值函数 =u(p)*u(g),这里*为V,八，→等二元运算山. f:[0,1]→[0,1]讨论命题公式难免会出现这样的 所以在二值逻辑中，命题的逻辑运算（联结词） 情况：与某些事实相符而与某些事实不符；排中律不 可以直接通过0,1}中的真值函数（算子）给出定义 成立，v(pV一p)≠1；蕴涵等值式p→q台一pVq 不需要考虑具体的命题的含义或内容， 不成立等， 二值逻辑直接把命题公式f:S→S1看作真值 如HP(A)∈{P(x)lx∈X,X=2”,当A≠ 函数f:0,1}→0,1{，把命题变量看作真值变量. D(u(P(A))≠0)且A≠0(u(P(A)≠1)时，根 如参考文献[5]中对命题公式的赋值，就是对组成公 据Lukasiewicz的定义有： 式的命题变量指定真值，二值逻辑中的真值表就是 v(P(A)V-P(A))=max(v(P(A)),1-v 真值函数，二值逻辑直接通过真值函数讨论等值演 (P(A))≠1， 算和推理问题， v(P(A)AP(A))=min(v(P(A)),1(v(P 3.2多值逻辑中的命题公式与真值函数 (A))≠0， 当进入多值逻辑系统时，根据第2节的讨论，命 即不满足排中律和子盾律 题逻辑运算必须考虑命题的语义和相关性，真值相 事实上，在2.1.2的定义4中讨论过， 同的不同命题，逻辑运算结果不一定相同 Lukasiewicz定义的A,V运算只有对属于同一关系 例4.给定命题公式p人q,任两命题P(A),Q 命题集合且有包含关系的两个命题成立，即当P （B),设v(P(A)=0.3,u(Q(B)=0.5,令p=P (A)三P(B)或P(B)=P(A)时： (A)q=Q(B),有 v(P(A)A P(B))=v(P(AB))=min(v 当二者属于同一关系命题集合且不相交时(P (P(A)),v(P(B)), =Q,A∩B=0):v(pAq)=v(P(A∩B)=0: v(P(A)V P(B))=(P(AUB))=max( 当二者属于同一关系命题集合且包含时(P= (P(A)),(P(B)) Q,ACB):v(pAq)=v(P(AB))=0.3; (2)概率算子对具有独立关系的两命题成立 当二者不属于同一关系命题集合（独立，P≠ 概率算子给出的定义3]， Q)时：v(pAq)=v(P(A)AQ(B)=0.50.3= 合取运算：x☒y=xXy; 0.15. 析取运算：x⊕y=x十y一x×y,x,y∈[0,1] 真值相同的不同命题，逻辑运算结果不同 正是定义5中给出的独立命题p与q之间的逻辑 有时，命题的逻辑运算不能通过真值函数（真值 运算定义，即u(p*g)=u(p)°(g),*为V,A 的运算或算子)给出定义，如在定义4中，关系命题 运算，°为⊕，⑧运算.显然概率算子只对独立命题 之间的逻辑运算是通过集合运算实现的，即)(P 适用， (A)*P(B)=u(P(A°B)),*为V,A等二元逻 辑运算，°为U,∩等二元集合运算.这时满足v(P 4结论一命题及逻辑运算的本质 (A)*P(B))=v(P(A)·v(P(B))这样的运算· 本文从数理逻辑研究的基本单位一命题入 是不存在的， 手，分析了命题的相关性与逻辑运算之间的关系：在 命题之间的运算是由命题决定的，命题公式是 二值逻辑中，命题逻辑运算结果的真值只与参与运 关于命题的函数，不能再看作真值函数，多值逻辑 算的命题的真值有关，而与命题的具体内容无关：在v（ p→q）＝max （1— v （ p）v （ q））这里的 p q 表示任意命题v （ p）v （ q）∈｛01｝． 这说明在经典二值逻辑中命题逻辑运算结果 的真值只与命题的真值有关而与命题自身结构以 及命题之间的关系无关． 设 S1 为二值逻辑中所有命题的集合若在｛0 1｝中定义以下真值函数： x ＝1— xx ∨ y＝max （ xy）x∧y＝min（ xy）x→y＝max（1— xy） xy∈｛01｝则真值 v：S1→｛01｝是代数系统＜ S1∨∧→＞到＜｛01｝ ∨∧→＞的同 态即∀ pq∈S1有 v （ p）＝ v （ p）v （ p∗ q） ＝v （ p）∗v （ q）这里∗为∨∧→等二元运算［1］． 所以在二值逻辑中命题的逻辑运算（联结词） 可以直接通过｛01｝中的真值函数（算子）给出定义． 不需要考虑具体的命题的含义或内容． 二值逻辑直接把命题公式 f：S n 1→ S1 看作真值 函数 f：｛01｝n→｛01｝把命题变量看作真值变量． 如参考文献［5］中对命题公式的赋值就是对组成公 式的命题变量指定真值．二值逻辑中的真值表就是 真值函数．二值逻辑直接通过真值函数讨论等值演 算和推理问题． 3∙2 多值逻辑中的命题公式与真值函数 当进入多值逻辑系统时根据第2节的讨论命 题逻辑运算必须考虑命题的语义和相关性真值相 同的不同命题逻辑运算结果不一定相同． 例4．给定命题公式 p∧q任两命题 P（ A）Q （B）设 v （P（ A））＝0∙3v （ Q（B））＝0∙5令 p＝P （ A）q＝ Q（B）有 当二者属于同一关系命题集合且不相交时（ P ＝ QA∩B＝∅）：v （ p∧q）＝v （P（ A∩B））＝0； 当二者属于同一关系命题集合且包含时（ P＝ QA⊆B）：v （ p∧q）＝v （P（ A∩B））＝0∙3； 当二者不属于同一关系命题集合（独立P≠ Q）时：v （ p∧q）＝v （P（ A）∧ Q（B））＝0∙5×0∙3＝ 0∙15． 真值相同的不同命题逻辑运算结果不同． 有时命题的逻辑运算不能通过真值函数（真值 的运算或算子）给出定义．如在定义4中关系命题 之间的逻辑运算是通过集合运算实现的即 v （ P （ A）∗P（B））＝ v （ P（ A°B））∗为∨∧等二元逻 辑运算°为∪∩等二元集合运算．这时满足 v （ P （ A）∗P（B））＝v （P（ A ））·v （ P（ B））这样的运算· 是不存在的． 命题之间的运算是由命题决定的命题公式是 关于命题的函数不能再看作真值函数．多值逻辑 中不存在如二值逻辑中那样的处处行得通的真值函 数也就不能用真值函数讨论等值演算和推理问题． （1） ／Lukasiewicz 定义的∧∨运算只对属于同 一关系命题集合且有包含关系的两个命题成立． 设 S 为多值逻辑系统中所有命题的集合 ／Lukasiewicz认为真值 v：S →［01］是同态映射系 统在［01］上定义 x＝1— xx∨y＝max（ xy）x ∧y＝min（ xy）x→y＝min（11— x＋y）有∀ p q∈Sv （ p ）＝ v （ p ）v （ p ∗ q）＝ v （ p ）∗ v （ q）∗为∨∧→等二元运算［1］．把命题之间的逻 辑运算定义成命题真值的运算直接通过真值函数 f：［01］ n→［01］讨论命题公式难免会出现这样的 情况：与某些事实相符而与某些事实不符；排中律不 成立v （ p∨ p）≠1；蕴涵等值式 p→ q⇔ p∨ q 不成立等． 如∀P（ A）∈｛P（ x）｜x∈ X｝X＝2Ω当 A ≠ ∅（ v （P（ A ））≠0）且 A ≠∅（ v （ P（ A ））≠1）时根 据 ／Lukasiewicz 的定义有： v （P（ A ）∨ P（ A ））＝max （ v （ P（ A ））1— v （P（ A）））≠1 v （P（ A）∧ P（ A ））＝min（ v （ P（ A ））1（ v （ P （ A）））≠0 即不满足排中律和矛盾律． 事 实 上在 2∙1∙2 的 定 义 4 中 讨 论 过 ／Lukasiewicz定义的∧∨运算只有对属于同一关系 命题集合且有包含关系的两个命题成立即当 P （ A）⊆P（B）或 P（B）⊆P（ A）时： v（P（ A）∧ P（ B））＝ v （ P（ A ∩ B））＝min（ v （P（ A））v （P（B））） v（P（ A）∨ P（ B））＝ v （ P（ A ∪ B））＝max （ v （P（ A））v （P（B）））． （2）概率算子对具有独立关系的两命题成立． 概率算子给出的定义［3］ 合取运算：x⨂y＝ x×y； 析取运算：x♁y＝ x＋y— x×yxy∈［01］ 正是定义5中给出的独立命题 p 与 q 之间的逻辑 运算定义即 v （ p∗ q）＝ v （ p）°v （ q）∗为∨∧ 运算°为♁⨂运算．显然概率算子只对独立命题 适用． 4 结论———命题及逻辑运算的本质 本文从数理逻辑研究的基本单位———命题入 手分析了命题的相关性与逻辑运算之间的关系：在 二值逻辑中命题逻辑运算结果的真值只与参与运 算的命题的真值有关而与命题的具体内容无关；在 ·176· 北 京 科 技 大 学 学 报 2007年 增刊2