高等数学重点难点100讲 第2讲函教概念(2) 、函数的基本性质 奇偶性 奇函数:f(-x)=-f(x),对任意的x∈D,图形对称于原点 偶函数:f(-x)=f(x),对任意的x∈D,图形对称于y轴 例如:绝对值函数f(x)=|x|是偶函数,符号函数∫(x)=sgnx是奇函数,对任意函 数,易证,f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.注意到以下几点,对于判别 函数的奇偶性是有益的: (1)由定义知,具有奇偶性的函数的定义域关于原点是对称的,所以,若函数的定义域 不关于原点对称,则可肯定该函数不具有奇偶性; (2)若f(x)是奇函数,则∫(0)=0; (3)存在既是奇函数又是偶函数的函数,f(x)=0就是而且是惟一的,事实上,这时 (x)同时满足:f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x),即对一切x∈D,恒有f(x)= f(x),所以f(x)≡0,x∈D(这里,D=( (4)奇偶函数的运算性质:①奇函数的代数和仍是奇函数;偶函数的代数和仍是偶函 数;②偶数个奇函数(或偶函数)之积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数;③一奇一偶的 乘积为奇函数 (5)常见的偶函数:|x|,cosx,x2(n∈N),e',e,… 常见的奇函数:sinx,tanx,rn+, arcsin.I, arctan r;… 例1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2-x+1; (2)f(x)=log(x+√x+1) ≤0 (3)f(x)= (4)f(x)= 解(1)f(x)=x2-x+1, f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1, ∴∫(x)=x2-x+1是非奇非偶函数 (2)f(r)=log(r2+1+x) ∫(-x)=logn[√(-x)2+1+(-x)]=logn(√x+1-x) (√x+1-x)(√x2+1+x) 1 vr+1+r g。√x+1+ =-log(√x2+1+x) f(x)=log(√x2+1+x)是奇函数 (3)∵∫(x)的定义域为x≠1的全体实数不关于原点对称, ∴∫(x)= 是非奇非偶函数