第2讲函数概念(2) (4)∫(-x)= -x≤0 1+(-x) x>0 x<0 即f(一x) ≤0 1 ≥011+x, x>0≈f(x), . f(a) ≤0 是偶函数 1+x,x>0 例2判别y=F(x)( +2)的奇偶性(其中a>0,a≠1,F(x)为奇函数) 解令g 十 1+2=1=a a-1+2 a2-1+1 2 (x) 所以E()为奇函数又F(x)为奇函数从而y=F(x(a21-2)为偶函数 例3讨论f(x)=<+1+x-1 (x∈R)的奇偶性 x2+1+x+1 解f(-x)+f(x) √x+1-x-1⊥√x+1+x-1 x2+1-x+1√x2+1+x+1 [(x2+1)-(x+1)2]+[(1+x)-(x-1)2=0. (√x+1+1)2-x2 从而∫(一x)=-f(x),故∫(x)为奇函数 注意判别给定函数的奇偶性,主要是根据奇偶性定义(如例1)有时也用其运算性质 (如例3),∫(x)+f(-x)=0也是判别f(x)为奇函数的有效方法(如例3) 2.单调性 对任意的x1,x2∈(a,b),且x1<x2,若f(x1)<f(x2)称f(x)在(a,b)内是单调增加 的,图形沿x轴的正向上升;若f(x1)>f(x2)称∫(x)在(ab)内是单调减少的图形沿x 轴的正向下降 同样可定义在无限区间上单调增加(减少)函数 在整个区间上单调增加(减少)函数称为单调函数,这个区间称为单调区间 例4判断函数y=x+lnx的单调增减性 解设y=∫(x)=x+lnx,0<x1<x2 f(x2)-f(x1) +1 (r,+Inr,) =(x2-x)+(nx2-lnx1)=(x2-x,)+ln ∴0<x1<x2 ∴x2-x>0,>1,ln>0, ∴f(x2)-f(x1)>0,即∫(x2)>f(x1) y=x+Inx在(0,+∞)上为增函数 定义告诉我们,函数的单调性与区间有关,例如,y=x2在(-∞,0]上是单调减少的, 在(0,+∞)上是单调增加的因而在(一∞,0或在(0,+∞)上是单调的,但在(-。, )上不是单调的 例5设f(x)在(0,+∞)上有定义,x1>0,x2>0,求证: