6 高等数学重点难点100讲 1)若(红2单调增则∫(x1+x2)≥f(x)+f(x2) )若单调减则∫(x1+x2)≤∫(x1)+f(x2) 证只证(1)(请读者仿(1)的证法证(2)设x1>0,x2>0,且x1<x,由f(x)的单 调增加性得 ∫(x1)f(x2)f(x1+x2) x1+x2 (2.1) 由(22)、(23)式推得:x2f(x1+x)≥x1f(x2)+x2f(x2)≥x2f(x1)+功f(12) 由(2.1)式得 x1f(x2)≥x2f(x1), 及 f(x1+x2)≥(x1+x2)f(x2) 3) 从而得 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) 例6设g(x),f(x),h(x)为单调增函数,证明:若g(x)≤f(x)≤h(x),则 g[g(x)]≤f[f(x)]≤h[h(x)] 证设x为g,f,h公共定义域内任意一点,则由已知条件得 A B=f(x)≤C 由A≤B≤C及g(x)≤f(x)≤h(x)得 g(A)≤f(A)≤f(B)≤h(B)≤h(C),即gLg(x)≤f(x)]≤h[h(x) 由x的任意性可知:g[g(x)]≤ff(x)≤h[h(x)]成立 3.有界性 若存在M>0,对任意的x∈(a,b),使f(x)≤M则称f(x)在(a,b)内是有界的,其 图形介于直线y=M与y=-M之间 若不存在M>0使|f(x)|≤M永远成立,则称f(x)为无界函数,其图象向上或向下 无限伸展 如三角函数f(x)=sinx,g(x)=cosx在整个数轴上是有界的因为对一切实数x恒 有:| sinx≤1, I cost≤1,x∈(-∞,+∞) 又如:arnx≤2, arccos I≤x,x∈[-1,1 l arctan|<a,larccotxl ∈( 函数y=x2在(一∞,+∞)内仅有下界,因为对任何实数x,都有x2≥0即y≥0,函数y =x23在(-∞,+∞)内无上界,也无下界, 例7求证函数y=x2+1在它的定义域内是有界的 证函数的定义域是(-∞,+∞) ±2x+1 ±1)2≥0 ∴x2+1≥±2x,由x2+1≥2x得 x2+12 由x2+1≥-2x,得 2x2+1 所以-≤ +1 ≤ 2 即有 ≤,所 以函数在整个定义域上是有界的 注意①定义中的正数M不是惟一的,但也不是任意的,如上例中的M=1,也可取