第2讲函数概念(2) M=1这时p+1≤1,也满足面数有界的定义,但取M-3就不对了因为当x=士1 ∈D时+1->M=函数/()是否有界与所讨论区间有关例如,() 1,在[1,+∞)上有界但在(0,+∞)内无界,事实上,对于任意指定的足够大的正数 M,总有=2∈(0,+∞),使得12M>M. 例8试证函数f(x)= sInZ是无界函数 证在f(x)的定义域(-∞,+∞)内考虑数列xn=2nr+(n∈N).显然,f(x,) f(2nx+n)=(2nm+石)sin(2n+丌)=2nx+>2nx>n(n=1,2…).对于任 意指定的足够大的正数M,总有正整数N:N≥M,(x)在rN处的值f(xN)=2Nr+ N≥M.故f(x)= ISIn无界. 例9设函数f(x)在X上有定义,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在Ⅹ上 既有上界,又有下界 证必要性:设∫(x)在X上有界,即存在M>0,使得对于任给x∈X,有f(x)< M.所以-M<f(x)<M,取K1=M,K2=-M,则∫(x)>K2,f(x)<K1,故K,K:分 别为f(x)在X上的上界和下界 充分性:设f(x)在X上既有上界k1,又有下界k2、即对于任给的x∈X,有∫(x)<k 且f(x)>k2取M=max{k1|,|k2|}(表示取k,,}k2中大的一个数),则f(x)>k M,且∫(x)<k1≤M,即有-M<f(x)<M,或|f(x)<M,故∫(x)有界 4.周期性 对于函数f(x),如果存在一个不为零的数l,使得关系式∫(x+1)=f(x)对于定义域 内的任何x都成立,则称∫(x)为周期函数,称为∫(x)的周期.通常我们说周期函数的周 期是指最小正周期. 例10求下列函数的周期: (1)f(x)=|sinr+| cosr;(2)f(x)=[x2-x;(3)f(x)=[x1-33 解(1)由于f(x+2)=sin(x+y)+cos(x+2 lcosr!+I-sinx= sinx|+cosz 所以f(x)=|sinx+ icos的周期为x (2)f(x+1)=[x+1]-(x+1)=[x]+1-x-1=[x]-x=f(x) 所以f(x)=[x]-x的周期为1 (3)f(x)=[x]-x+ 其中f1(x)=[x]-x以1为周期,f2(x) 3]以3为周期所以f(x)=f(m)-3/{x)以3为周期 注意判别给定函数的周期性,可以根据周期性的定义(如例10的(1),(2));也可用 其运算性质:若f(x),g(x)分别是以l1,l2,l1≠l2为周期的函数,则f(x)±g(x)是以l1l2 的最小公倍数为周期的函数(如例10(3))