对区间[a,b]上的有界函数f(x) 和存在且有限 并且对任 何分法T,有sT)s∫s∫sT) 上、下积分的几何意义 例1求∫,D(x)和Dx),其中DOx)是Diht函数 5. DarboUx定理: Th1设函数f(x)在区间[a,b]上有界,T是区间[a,b]的分法.则有 S(T)=f(x)dx s(T) f(x)d 证(只证第一式 要证 对VE>0,3δ>0,使当<d时有 0≤5()-广<0≤5-广是显然的,因此只证5(T)-∫ 广=infS(T),→对V6>0,彐T”,使(7)<广+5,”设有p个分点 对任何分法T,由性质4的系,有S()-p(M-m)S(7),由*)式,得 s(7)-p(M-m)四≤57)-+5 S(T)-P(M-m + 亦即S(7)-<2+p(M-m) 于是取δ (可设M>m,否则f(x)为常值函数,=S(7)对任何 2P(M-m) 分法T成立)对任何分法T,只要|<δ,就有 0≤S(T n)-了 此即1ims(m)=f(x)dx 6.可积的充要条件: Th2(充要条件1)设函数f(x)在区间[a,b]上有界.f(x)∈R[a,b]分 证→)设/()=1,则有把∑/(x)Ax=1即对>0,36>0,使当 103对区间 ba ] , [ 上的有界函数 xf )( , ∫ b a 和 ∫ b a 存在且有限 , ∫ b a ≥ ∫ b a . 并且对任 何分法T , 有 Ts )( ≤ ∫ b a ≤ ∫ b a ≤ )( __ TS . 上、下积分的几何意义. 例 1 求 ∫ 1 0 )( dxxD 和 ∫ 1 0 )( dxxD . 其中 是xD )( Dirichlet 函数 . 5. Darboux 定理 : Th 1 设函数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上有界 , T 是区间 ba ] , [ 的分法 . 则 有 0 lim T → )( __ TS = ∫ b a )( dxxf , 0 lim T → Ts )( = ∫ b a )( dxxf . 证 ( 只证第一式 . 要 证 : 对 ∀ε > ∃δ > , 0 , 0 使 当 T < δ 时 有 0 ≤ )( − __ TS ∫ b a < ε . 0 ≤ )( − __ TS ∫ b a 是显然的. 因此只证 )( − __ TS ∫ b a < ε . ) ∫ b a TS )(infT = , ⇒ 对 ε ∃>∀ , 0 T ′ , 使 )( < __ TS ′ ∫ b a *) , 2 ε + 设T ′ 有 p 个分点, 对任何分法T , 由性质 4 的系, 有 )( − __ TS p − mM )( T ≤ ,由* ) )( 式, 得 __ TS ′ )( − __ TS p − mM )( T ≤ )( < __ TS ′ ∫ b a , 2 ε + 即 )( − __ TS p − mM )( T < ∫ b a , 2 ε + 亦即 )( __ TS ∫ − b a < 2 + ε p − mM )( T . 于是取 − mMp )(2 = ε δ , ( 可设 > mM , 否则 为常值函数 xf )( , ∫ b a = 对任何 分法T 成立. ) 对任何分法T , 只要 )( __ TS T < δ , 就有 0 ≤ )( − __ TS ∫ b a ε ε ε =+< 22 . 此即 0 lim T → )( __ TS = ∫ b a )( dxxf . 6. 可积的充要条件: Th 2 （ 充要条件 1 ）设函数 在区间 xf )( ba ] , [ 上有界. xf )( ∈ baR ] , [ ⇔ ∫ b a = ∫ b a . 证 ⇒) 设 = ∫ b a )( dxxf I , 则有 0 lim T → ∑ Δ ii)( xxf = I . 即对∀ε > ∃δ > , 0 , 0 使当 103