卩<d时有 ∑f(x,)x,-1<5对V5,∈Ax,成立 在每个[x1,x]上取,使0≤M1-f()4b-于是 1s(7)-∑f()△x=∑(M -f())Ax.<E 因此,四<δ时有 1S(T)-157)∑(5)M+2(xA-12+26 此即 S(7)=1.由Dobx定理,→∫=1 同理可证 ∈)对任何分法T,有s(m)≤∑()≤S(),而 令和|的共值为,由双逼原理 2T)=1 Th3f(x)有界.f(x)∈R[a,b]分对VE>0,彐7,3S(7)-s(7)<E. 证→)f(x)∈R[a,b]→ S(T)-s(7))=0.即对 36>0,VT,|7<时,→0≤S(7)-s(T)< ∈)s()≤[≤「≤S(7),由3(T)-s()<s,→ 0≤ <E,→ 定义称O,=M1-m2为函数∫(x)在区间[x-1,x]上的振幅或幅度. 易见有O,≥0.可证O,=sup(x)-f(x”) Th3’(充要条件2)f(x)有界.f(x)∈R[a,b]对VE>0,彐7,3 O,4r Th3的几何意义及应用Th3'的一般方法:为应用Th3,通常用下法构造分法T:当函 数f(x)在区间[a,b]上含某些点的小区间上O作不到任意小时,可试用f(x)在区间T < δ 时有 | ∑ Δ ii)( xxf − I | < 2 ε 对 ii ξ ∈∀ Δx 成立. 在每个 −1 xx ii ] , [ 上取ηi , 使 i −≤ fM ηi)(0 − ab )(2 < ε , 于是, | )( | = __ TS −∑ )( i f η i Δx ))( ( i i ∑ − fM η i Δx < 2 ε . 因此, T < δ 时有 | )( __ TS − I | ≤ | )( | + | __ TS −∑ )( i f ξ i Δx ∑ Δ ii)( xxf − I | < 2 ε + 2 ε = ε . 此即 0 lim T → )( __ TS = I . 由 Darboux 定理 , ⇒ ∫ b a = I . 同理可证 ∫ b a = I . ⇒ ∫ b a = ∫ b a . ⇐) 对任何分法T , 有 Ts )( ≤ ∑ T)( ≤ )( , 而 __ TS 0 lim T → Ts )( = ∫ b a = ∫ b a = 0 lim T → )( __ TS . 令 ∫ b a 和 ∫ b a 的共值为 I , 由双逼原理 ⇒ 0 lim T → ∑ T)( = I . Th 3 xf )( 有界. xf )( ∈ baR ] , [ ⇔ 对 ∀ε > ∃T ∋ , , 0 )( − __ TS Ts )( < ε . 证 ⇒) xf )( ∈ baR ] , [ ⇒ 0 lim T → ( )( − __ TS Ts )( ) = 0. 即 对 ε δ >∃>∀ , 0 , 0 , TT <∀ δ 时, ⇒ 0 ≤ )( − __ TS Ts )( < ε . ⇐) Ts )( ≤ ∫ b a ≤ ∫ b a ≤ )( __ TS , 由 )( − __ TS Ts )( < ε , ⇒ 0 ≤ ∫ b a – ∫ b a < ε , ⇒ ∫ b a = ∫ b a . 定义 称 ω i −= mM ii 为函数 在区间 上的振幅或幅度 xf )( ] , [ . 1 ii xx − 易见有ω i ≥ 0 . 可证ω i = .)()(sup ],[, 1 xfxf ii xxxx ′ − ′′ ∈ − ′′′ Th 3’ (充要条件 2 ) xf )( 有界. xf )( ∈ baR ] , [ ⇔ 对 ∀ε > ∃T ∋ , , 0 ∑ <Δ εω . iI x Th 3’ 的几何意义及应用 Th 3’的一般方法: 为应用 Th 3’, 通常用下法构造分法T :当函 数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上含某些点的小区间上ω i 作不到任意小时, 可试用 在区间 (xf ) 104