10.0.0 01·0.0 00.1.0 00.0.0 。,。+。 (00.0.0 的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形，主对角线上1的个数等于的秩(1的个数可以是零). 证明如果A=0,那么它已经是标准形了.以下无妨假定A≠0经过初等变换，A一定可以变成 一左上角元素不为零的矩阵 当a,≠0时，把其余的行减去第一行的aa=2,3.,5)倍，其余的列减去第一列的 aa,U=2,3,.,m)倍，然后，用a乘第一行，A就变成 0.0 0 A是一个(5-)×(-)的矩阵对A再重复以上的步骤这样下去就可得出所要的标准形 显然标准形矩阵的秩就等于它主对角线上1的个数而初等变换不改变矩阵的秩所以1的个数也 就是矩阵A的秩 根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵因之，矩阵A,B等价的 充分必要条件是有初等矩阵R,.,B,C,.,Q,使 A=PB.PB2,22.g (1) n级可逆矩阵的秩为n,所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵：反过来显然也是对的.由(1)即得 定理6n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： A=2Q2.0 (2) 由此即得 推论1两个5×n矩阵A,B等价的充分必要条件为，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q A=PBO 把(2)改写一下，有 Qmg.gA=E. (3) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0       的矩阵等价,它称为矩阵 A 的标准形,主对角线上 1 的个数等于的秩( 1 的个数可以是零). 证明 如果 A= 0 ,那么它已经是标准形了.以下无妨假定 A 0 .经过初等变换, A 一定可以变成 一左上角元素不为零的矩阵. 当 11 a  0 时, 把其 余的 行减 去第 一行 的 1 11 1( 2,3, , ) i a a i s − = 倍 , 其 余的 列减 去第 一列 的 1 11 1 ( 2,3, , ) j a a j n − = 倍,然后,用 1 11 a − 乘第一行, A 就变成 1 1 0 0 0 0 A             A1 是一个 ( 1) ( 1) s n −  − 的矩阵.对 A1 再重复以上的步骤.这样下去就可得出所要的标准形. 显然,标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1 的个数.而初等变换不改变矩阵的秩,所以 1 的个数也 就是矩阵 A 的秩. 根据引理,对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因之,矩阵 A B, 等价的 充分必要条件是有初等矩阵 1 1 , , , , , , P P Q Q l t 使 A PP PBQ Q Q = 1 2 1 2 l t (1) n 级可逆矩阵的秩为 n ,所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵;反过来显然也是对的.由(1)即得 定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积: A Q Q Q = 1 2 m (2) 由此即得 推论 1 两个 s n 矩阵 A B, 等价的充分必要条件为,存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级矩阵 Q 使 A PBQ = 把(2)改写一下,有 1 1 1 2 1 . Q Q Q A E m − − − = (3)