(A P6)A=日 行 这相当于把A的1行与j行互换令B=P(,(c),得 4 P(i,(c)A=cA行 (4 这相当于用c乘A的i行.令B=P,),得 A+k4行 P(i,j(k))A= 行 A 这相当于把A的了行的k倍加到i行. 不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵事实上 PG,)-P,P(c》=Pi(c'》,P6jk》=PL,-k》 在第二章$5我们看到，用初等行变换可以化简矩阵如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可 以进一步化简为了方便，我们引入 定义11矩阵A与B称为等价的，如果B可以由A经过一系列初等变换得到 等价是矩阵间的一种关系不难证明，它具有反身性、对称性与传递性 定理5任意一个5×n矩阵A都与一形式为1 ( , ) j i s A A P i j A A A           =             i j 行 行 这相当于把 A 的 i 行与 j 行互换.令 B P i c = ( ,( )),得 1 ( ,( )) i s A P i c A cA A       =           i行 这相当于用 c 乘 A 的 i 行.令 B P i j k = ( , ( )) ,得 1 ( , ( )) i j j s A A kA P i j k A A A         +   =             i j 行 行 这相当于把 A 的 j 行的 k 倍加到 i 行. 不难看出,初等矩阵都是可逆的,它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上 1 1 1 P i j P i j P i c P i c ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )) − − − = = , 1 P i j k P i j k ( , ( )) ( , ( )). − = − 在第二章§5 我们看到,用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换,那么矩阵还可 以进一步化简.为了方便,我们引入 定义 11 矩阵 A 与 B 称为等价的,如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到. 等价是矩阵间的一种关系.不难证明,它具有反身性、对称性与传递性. 定理 5 任意一个 s n 矩阵 A 都与一形式为