用数域P非零数c乘E的i行，有 行 P,)= 1 把矩阵E的了行的k倍加到1行，有 1 行 P(i.i= 1 1 同样可以得到与列变换相应的初等矩阵应该指出，对单位作一次初等列变换所得到的矩阵也包括 在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把E的1列的k倍加到j列，我们仍然得到P化，k)》.因之，这 三类矩阵就是全部的初等矩阵 利用矩阵乘法的定义，立即可以得到 引理对一个3×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的3×3初等矩阵：对 A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n的初等矩阵. 证明我们只看行变换的情形，列变换的情形可同样证明.令B=(亿，)为任意一个5×5矩 阵，A,A,.,A,为A的行向量由矩阵的分块乘法 4+z4++A, BA=64+4++44, . b4+b24+.+bnA 特别，令B=P,),得 用数域 P 非零数 c 乘 E 的 i 行,有 1 ( , ) 1 1 c P i j         =           i行 把矩阵 E 的 j 行的 k 倍加到 i 行,有 1 1 ( , ) 1 1 k P i j           =             i j 行 行 同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出,对单位作一次初等列变换所得到的矩阵也包括 在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说,把 E 的 i 列的 k 倍加到 j 列,我们仍然得到 P i j k ( , ( )) .因之,这 三类矩阵就是全部的初等矩阵. 利用矩阵乘法的定义,立即可以得到 引理 对一个 s n 矩阵 A 作一初等行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的 s s  初等矩阵;对 A 作一初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 n n 的初等矩阵. 证明 我们只看行变换的情形,列变换的情形可同样证明.令 ( ) B b = ij 为任意一个 s s  矩 阵, 1 2 , , , A A A s 为 A 的行向量.由矩阵的分块乘法, 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . s s s s s s ss s b A b A b A b A b A b A BA b A b A b A   + + +   + + +   =       + + + , 特别,令 B P i j = ( , ),得