第64讲广义积分 225 第64讲广义积分 、广义积分的基本念及计算法 1.无穷限的广义积分 (1) f(x)dx= lim I f(x)dx (2) f(x)dx= lim f(x)dx: (3)/(ydr=lim /(r)dr+lim f()dz 若极限存在则无穷积分收敛否则发散;(3)中右边有一个极限不存在,则f(x)dx 便发散. 2.无界函数的广义积分 (1)f(x)dx=limf(x)dx(当x→b-时,f(x)→∞); (2)f(x)dx=limf(x)dx(当x→a+时,f(x)→∞); (3)f(x)dx=imf(x)dx+limf(x)dx(当x→c时,f(x)→∞) 通常称(1)中的x=a,(2)中的x=b,(3)中的x=c点为f(x)的瑕点,称相应的无 界函数的广义积分为瑕积分 若右边的极限存在,则瑕积分收敛,否则发散,(3)式右边的两个极限若有一个不存在 则瑕积分发散 一句话概括:广义积分就是变上限(下限)函数的极限 有些广义积分,既有无穷积分又有瑕积分,该如何判敛及计算呢?这正是紧接着要讨论 的问题. 3.广义积分计算的一般步骤 第一步:区别类型(无穷积分,瑕积分),对既有无穷积分又有瑕积分的混合型,一定要先 进行分解使各单个积分只有一个瑕点的瑕积分,一个积分限为无穷的无穷积分 例1求下列广义积分: x+4z+9:(2)1 d (1) x(1-x) dx;(3).—dx x-1 解(1)被积函数f(x)=x2+4x+9在(-∞,+∞)连续,无瑕点属无穷限的广 义积分∫二+4x+4z=」 ∞x2+4x+92+ dr x2+4x (2)因lim ∞,Im x0+√x(1-x) (G=∞,所以积分的上、下限都是被积函 数的无穷间断点即瑕点 √x(1-x) d √x(1-x (3)因limf(x)=∞,所以x=1为f(x)的瑕点,故该广义积分为混合型的 +∞ d dx+