对1=2=2,对应的特征向量为1=052=1 对3=3,对应的特征向量为3=0 51,5253已是正交向量组,只需将它们单位化,得正交矩阵 0.令X=Qy,则二次型化为n2+2n2-3y3 √5√5 四、证明题:(本大题共10分。第1,2小题5分共10分:第3小题10分 务请按分值选作) 1.设a,a2,a3,B均为n维非零列向量,ax1,a2,a3线性无关且B与a1,a2,a3分别正交。证明 a12a2,a3,B线性无关 设kB+k1a1+k2a2+k3C3=0,→(B,k1a1+k2a2+k33)=0 k=0,→k1a1+k2a2+k k1=k2=k3=0 2.设A,B,C均为n阶方阵,且B=E+AB,C=A+CA,证明B-C=E. 由B=E+AB,→(E-AB=E,→(E B 由C=A+CA→(E-A)C+E)=E→(E-A)=C+E,故 B=C+E→B-C=E 3.设有m+1个n维列向量a1,a2,…,an,B,A是一个n阶正定矩阵,如果满足: (2)aA (3)B与每一个a;都正交 证明:(1)a1,a2,…n线性无关;(2)B=0 证:(1)k1a1+k +k 0,→k1Aa1+k2Aa2+…+ kda=0,. 2 0 1 3 0 1 0 1 0 2 2, 3 3 1 2 1 2           − = − =           =           = = =       对 ，对应的特征向量为 对 对应的特征向量为 ， ， 1 , 2 , 3已是正交向量组，只需将它们单位化，得正交矩阵 2 3 2 2 2 1 , , 2 2 3 5 2 0 5 1 0 1 0 5 1 0 5 2 Q X = QY y + y − y               − = 令 则二次型化为 . 四、证明题：（本大题共 10 分。第 1，2 小题 5 分共 10 分；第 3 小题 10 分。 务请按分值选作） 1．设 1 2 3  , , ,  均为 n 维非零列向量， 1 2 3  , , 线性无关且  与 1 2 3  , , 分别正交。证明 1 2 3  , , ,  线性无关。 证：设 k + k11 + k22 + k33 = 0, (,k11 + k22 + k33 ) = 0 ， 0, 0, 0.  k =  k11 + k22 + k33 =  k1 = k2 = k3 = 2．设 A, B,C 均为 n 阶方阵,且 B = E + AB,C = A + CA ，证明 B −C = E. 证： , ( ) , ( ) , 1 B = E + AB  E − A B = E  E − A = B 由 − ( )( ) ( ) , 1 C = A+CA  E − A C + E = E  E − A = C + E 由 − 故 B =C + E  B−C = E 。 3．设有 n+1 个 n 维列向量 1 , 2 ,  , n , ，A 是一个 n 阶正定矩阵，如果满足： （1）  0,  j j=1,2,…,n； （2） A j i j i j n T i   = 0,  , , =1,2,, ； （3）  与每一个  j 都正交； 证明：(1)    n , , , 1 2  线性无关；(2)  =0. 证：(1) 0, 0, k11 + k2 2 ++ kn n =  k1A1 + k2A 2 ++ knA n =