A=1 1对1=-2对应的特征向量为5 对2=1,对应的特征向量为2=-1对3=2,对应的特征向量为3=1 √6√3√2 将它们单位化即得到所求的正交矩阵Q= √3√2 2 0 7.设a1=(a,2,10)2,a2=(-2,1,5),a3=(-1,4),B=(1.c),问当a,b, c满足什么条件时 (1)B能用a1,a2a3唯一线性表示? (2)B不能用a1,a2,a3线性表示? (3)B能用a12a2,a3线性表示,但表示式不惟一,并求出一般表示式 教材第108页第12题第2问 8.设二次型f(x1,x2,x3)=XAx=ax2+2x2-2x3+2bx1x3(b>0,其中二次型的 矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 (1)求a,b的值 (2)利用正交变换将二次型∫化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 a0 b A=020→a+2-2=1→a=1|4=-12→b=2故 b0-2 A=020 14-=(2-4)2(+3→4=2=2,2=-3, 1 1 1 1 1 1 1 1           − − = − k A 对 对应的特征向量为 ，          − = − = 2 1 1 2, 1 1 . 0 1 1 2 1 1 1 1, 2 2 3 3           = =           对 = 对应的特征向量为 = − ， 对 ，对应的特征向量为 将它们单位化即得到所求的正交矩阵                   − − = 0 3 1 6 2 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 Q 。 7．设 T (a,2,10) 1 = , T ( 2,1,5)  2 = − ， T ( 1,1,4)  3 = − ， T  = (1,b,c) ，问当 a，b， c 满足什么条件时 （1）  能用 1 2 3  , , 唯一线性表示？ （2）  不能用 1 2 3  , , 线性表示？ （3）  能用 1 2 3  , , 线性表示，但表示式不惟一，并求出一般表示式。 教材第 108 页第 12 题第 2 问。 8．设二次型 ( , , ) 2 2 2 ( 0), 1 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = X AX = ax1 + x − x + bx x b  T 其中二次型的 矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12。 (1)求 a，b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。 , 2 2 1 1. 1 2 2. 0 2 0 2 0 0  + − =  = = −  =           − = a a A b b a b A 故            − = , 2 0 2 0 2 0 1 0 2 A (2 ) ( 3), 2, 3. 1 2 3 2 A− E = − −   +   =  =  = −