1231 A=1时 A=1362→>013 0 2334)(0002-1 0000 当元=时方程组有解,同解方程组为 x1=3x3-1, 令x3=0,→7 令x3=1,→5=-3故通解为:n+k5,k∈R 5.设A=12-1,判断A是否与对角阵相似,相似时求可逆矩阵P,使PAP为 对角阵。 解:4-E=(2-)2(1-0),→1=12=2,3=1 000)(10 因为A-2E=10-1→000所以n42E)=3-2=1,所以A与对角阵相 似 对1=2=2,对应的特征向量为51=152=0 0 对3=b对应的特征向量为53=1令P=(525A=2则P-AP=A 6.设二次型=x2+x2-x3+2kx2+2x3-2x2x3经正交变换X=QY化为标准 形-2y2+y2+2y3,求k及正交阵Q k 1 解:A=k1-1,A 因为A与A相似,所以其特征值为 不=-2,12=3=2,→团4=-4即:k2-2k+1=0,∴k=1解：           − − →           − →           = = 0 1 1 0 0 0 0 1 3 1 0 3 1 1 1 0 0 0 0 1 3 1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 6 1 2 3  1时   A 当  =1时方程组有解 ，同解方程组为    = − + = − 3 1, 3 1, 2 3 1 3 x x x x 令          − =  =  0 1 1 0, x3  ， 令 . , . 1 3 3 1, x3 + k k  R           =  = −   故通解为：  5．设           = − 1 0 1 1 2 1 2 0 0 A ，判断 A 是否与对角阵相似，相似时求可逆矩阵 P，使 P AP −1 为 对角阵。 解： (2 ) (1 ), 2, 1. 1 2 3 2 A− E = −  −    =  =  = 因为 , 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 2           − →           − A − E = − 所以 r(A-2E)=3-2=1, 所以 A 与对角阵相 似。 , . 1 2 2 . ( ) , 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2, 1 3 3 1 2 3 1 2 1 2 =            =  =           = =           =           = = = − 对 ，对应的特征向量为 令P 则P AP 对 对应的特征向量为 ， ，          6．设 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 二次型f = x1 + x − x + 2k x x + 2x x − 2x x 经正交变换 X = QY 化为标准 形 2 3 2 2 2 − 2y1 + y + 2y ，求 k 及正交阵 Q. 解： , 2 1 2 , 1 1 1 1 1 1 1          −  =           − − = k − k A 因为 A与相似， 所以其特征值为 2 1 2 4 2 1 0 1. 2 1 = − ，2 = ，3 = ， A = − ，即：k − k + = ，k =