精品课程《数学分析》课外训练方案 o/。(2y3=92c+1(y2+9a2y axon ax ayay af 0a f ay. af a- Oxy ax ay- ax ayay 2 af ayr af ay ax2 a=2 ay ay2 ax Oxy Ox ay2ax ayay, 2 af ay ayr af ay a-f ayay ax2 dz2 Oy ay2 ax a: axdy az ay2 ax 由(4)式 a2fay、ma a-f ay ay, af ay oXo f ayay ay- ax az ay axdz af ay2, af ay Oyr af ay, df ay ay axa= ay2 ax a- ay2 axa 04== a2 因为 a+a.3(9)2-f912@,0/@y ax az ay axa= ay2 Ox az ay2 ax az ay axa 结合(4)式得 a2y2y()2= axap)3+2可fo10,0fy ax az axay az ay ax az ay axa 885)2 2ya2y_02 ax az l=f(x,y,,1 例3设{8(,=)=0,问什么条件下是x,y的函数啊?求ancn h(二,D)=0精品课程《数学分析》课外训练方案 5 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( ) ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = (由（5）式) ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 由（4）式 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x z y y f z y x y y f z y x y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 因为 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ，则 ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 结合（4）式得 2 2 2 2 2 ( ) y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 2 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 ( ) x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 即 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 。 例 3 设 ，问什么条件下u 是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t x, y 的函数啊？求 y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ,