精品课程《数学分析》课外训练方案 f(x(u,v, w),y(u,v,w),(u,v, w))=F(u, v, w) 在这方程两边分别对l,v,w求偏导,得 F F ax fa+f+f=F 将上面三式分别乘以l,v,w后再相加,得 ∫+2+f+f2+f+f uF+vE+wF 将x2=w,y2=,2=m代入即得xx+y,+1=Fn+vF,+wF 例2若2=f(x,y)有连续二阶偏导数,满足方程02=_a32 ax2a12=(),证明:若把==f(x,y)中y看 成x的函数,则它满足同样形状的方程yy= 证由二=∫(x,y)确定y是x,z的函数,则有=f(x,y(x,),方程两边分别对x,二求偏导,得 0 af af ay (1) af ay (1)式再分别对x,二求偏导,得 了f,2fba2f/yay ax away ax ay ax ay ax 0= f ay af ay ay af ay (4) andy az ay ax az ay axa (2)式再对z求偏导,得 0= 82f(y2+y02 (3)(5)式精品课程《数学分析》课外训练方案 4 f (x(u, v,w), y(u, v,w),z(u, v,w)) = F(u, v,w) ， 在这方程两边分别对u, v,w 求偏导，得 x y z Fu u z f u y f u x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x y z Fv v z f v y f v x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x y z Fw w z f w y f w x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 将上面三式分别乘以u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + + u v wFw = uF + vF + 将 x 2 = vw ， y = uw， 代入即得 2 z = uv 2 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 。 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ，证明：若把 z = f (x, y) 中 y 看 成 x,z 的函数，则它满足同样形状的方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 。 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别对 x,z 求偏导，得 x y y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 = （1） z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ 1 = （2） (1) 式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = (3) x z y y f z y x y y f z y x y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 0 （4） (2) 式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = （5） 由（3）（5）式