精品课程《数学分析》课外训练方案 F,Fr, Fu,F F(xo,y,lo,v)=0,G(x0,yo,,v0)=0;(3)F,G关于x,y,u,v的 Jacobi矩阵 点P的秩为2。则:存在点B的一个邻域,在此邻域内由方程组F(x,y,l,v)=0,G(x,y,l,v)=0;可以 确定唯一的函数:u=l(x,y),v=v(x,y)满足 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 G(,, u(x, y),(x,y))=0; 并且u、v都是关于x和y存在连续偏导数。 、基本要求 1、熟练掌握并运用隐函数存在定理; 2、求函数极值。 三、基本方法 1、运用隐函数存在定理计算和证明导数的有关问题; 2、会用拉格朗日数乘法计算函数的极值 四、典型例题 例1设x2=w,y2=ln,x2=ny及∫(x,y,z)=F(u,V,),证明 xf +y +f=uF+vF +wF ww x=x(u, v, w) 证方程组{y2=m确定了函数组{y=y(u,,),先求这个函数组对各变元的偏导数,为此,对 2=(u20,v) 方程组求微分得 2xdx=wdy+rdw 2yd=wd+uh,即dy=d+ch 2-dc=vdu+udv y 2y 0 ay ay ay 将函数组代入方程∫(x,y,=)=F(,v,w),得关于变元l,v,w的方程精品课程《数学分析》课外训练方案 3 F(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0，G(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0；（3） F，G 关于 x,y,u,v 的 Jacobi 矩阵： 在 点 的秩为 2。则：存在点 的一个邻域，在此邻域内由方程组 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x y u v x y u v G G G G F F F F , , , , , , P0 P0 F(x, y,u, v) = 0，G(x, y,u, v) = 0； 可以 确定唯一的函数：u = u(x, y), v = v(x, y) 满足： ； ， ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 = = G x y u x y v x y F x y u x y v x y 并且 u 、v 都是关于 x 和 y 存在连续偏导数。 二、基本要求 1、熟练掌握并运用隐函数存在定理； 2、求函数极值。 三、基本方法 1、运用隐函数存在定理计算和证明导数的有关问题； 2、会用拉格朗日数乘法计算函数的极值。 四、典型例题 例 1 设 x 2 = vw ， y = uw， 及 2 z = uv 2 f (x, y,z) = F(u, v,w) ，证明 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 证 方程组 确定了函数组 ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对 方程组求微分得 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z uv y uw x vw 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u, v,w) ，得关于变元u, v,w 的方程