精品课程《数学分析》课外训练方案 有对各个变元的连续偏导数,如何求偏导数? F2 F. F 解决方案:F+FU2+FF1=0 GG G+GU+Gv=0 F F (≠0) 求U,V及U,V的方法与求Ux,Vx完全相同 、隐函数存在定理 定理1(隐函数存在定理)设二元函数F(x,y)满足下列条件: ()在矩形区域D={(x,y)x-x<ay-y<b内,有关于xy的连续偏导数 (2)F(x0,y0)=0;(3)F,(x0,y0)≠0 则()在(x0,y)的某个领域内,由方程F(x,y)=0可以确定唯一的函数y=f(x) 也即,存在刀>0,当x∈O1(x0时有F(x,f(x)=0,并且y0=f(x) (2)On(x连续:(3)O2(x有连续的导数。 注:(1)定理的几何意义:条件(1)表明曲面z=F(x,y)是光滑的;条件(2)表明曲面和坐标平面=0 有一个交点,条件(3)(不妨设F(x0,y)>0)表明在(x,y00)的附近,对固定的x,设y为正向,曲面 是单调增加的。定理的结论是:在点(x0,y00)的附近曲面和z=0有一条唯一的光滑交线.(2)定理的结论 是局部性的,即在点(x0,y)的某个邻域内由方程F(x,y)=0可以唯一确定一个可微的隐函数。例如: F(x,y)=x+y 在点(,1)的某个邻域D1内由方程x2+y2-1=0可以确定唯一的y=√1-x2。在点的某个邻域D2内由方 程x2+y2-1=0可确定唯一的y=-1-x2.(3)定理的条件是充分的,非必要的。如上例中的函数: F(x,y)=x2+y-1=0在(-1,0)和(1,0)两点,F,=0,破坏了定理中的条件(3),从而定理失 效。从图中可以看出,对于在右邻域或左邻域内的任何一个值x,将获得两个值y: √1 唯一性条件破坏。 定理2(方程组情形的隐函数存在定理) 设(1)F(x,yu,y)和G(x,y,uv)在点P(x0,y0,u,V0)的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数:(2)精品课程《数学分析》课外训练方案 2 有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？ 解决方案： ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 0 0 x u x v x x u x v x G G U G V F F U F V ⇒ (≠ 0) = v v u u v v x x x G F G F G F G F U (≠ 0) = v v u u x x u y x G F G F G F G F V 求 完全相同。 U y Vy U z Vz U x Vx , 及 ， 的方法与求 , 3、隐函数存在定理 定理 1（隐函数存在定理） 设二元函数 F(x, y) 满足下列条件： 在 内连续； 在 内有连续的导数。 也即，存在 ，当 时有 ，并且 则 在 的某个领域内，由方程 可以确定唯一的函数 ， 在矩形区域 内，有关于 的连续偏导数； (2) ( ) (3) ( ) 0 ( ) ( , ( )) 0 ( ) (1) ( , ) ( , ) 0 ( ) (2) ( , ) 0 ; (3) ( , ) 0; (1) {( , ) | , } , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f O x f O x x O x F x f x y f x x y F x y y f x F x y F x y D x y x x a y y b x y y η η η > ∈ η = = = = = ≠ = − < − < 注： (1) 定理的几何意义：条件(1)表明曲面 z = F(x, y) 是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面 z = 0 有一个交点，条件（3）（不妨设 ）表明在 的附近，对固定的 x，设 y 为正向，曲面 是单调增加的。定理的结论是：在点 的附近曲面和 Fy (x0 , y0 ) > 0 ( , ,0) 0 0 x y ( , ,0) 0 0 x y z = 0有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论 是局部性的，即在点(x0 , y0 ) 的某个邻域内由方程 F(x, y) = 0 可以唯一确定一个可微的隐函数。例如： F(x, y) = 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某个邻域 D1内由方程 1 0 可以确定唯一的 2 2 x + y − = 2 y = 1− x 。在点的某个邻域 内由方 程 可确定唯一的 D2 1 0 2 2 x + y − = 1 . 2 y = − − x （3） 定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函数： F(x, y) = 1 0 在（-1，0）和（1，0）两点， 2 2 x + y − = Fy = 0 ，破坏了定理中的条件（3），从而定理失 效。从图中可以看出，对于在右邻域或左邻域内的任何一个值 x ，将获得两个值 y ： 2 y = 1− x ， 2 y = − 1− x 。 唯一性条件破坏。 定理 2（方程组情形的隐函数存在定理） 设（1） F(x, y,u,v)和G(x, y,u,v)在点P0 (x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数；（2）