精品课程《数学分析》课外训练方案 第十八章隐函数定理及其应用 基本概念 在此之前,我们所接触的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如 y=x+l, u=e(sin xy+sin y=+ sin zx) 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数,其自变量与因变量之间的对应法 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 1、先看由一个方程F(x,y,)=0所确定的隐函数求导法以及由方程组/(x,y,=,L,)=0 所确定的隐 lG(x,y,=,)=0 函数求导法 根据复合函数求导法则,在F(x,y)两边对x求导,得到 F1+F-y=0→F,≠0时,y= 当方程中的变量多于2个时,例如,设方程F(x,y,z)=0确定了是x和y的函数,并且 关于,y的偏导数都存在,在此前,如何求,? 对F(x,y,z)=0关于x,)求导,利用链式法则 aF aFaF az aFaF az 0 (F2≠0) 0 ax az ax -8F(F2≠0) 说明 需要假定-(F)≠0, 假设是很重要的 C二 (2)这里只用到了“链式法则”; (3)对F(x,y,z)=0求导,只在假定z是x和y的函数的情况下,求导数,如何确定z=x(x,y) (4)不要死记公式,要掌握思想方法 2、方程组的情形 设由方程组 F(x,y,=,l,v)=0 IG(x,y, 2,u,)=0 确定了u,v是x,y,的函数:u=u(x,y,z),v=v(x,y,z)并且它们具精品课程《数学分析》课外训练方案 1 第十八章 隐函数定理及其应用 一、基本概念 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 y x 1 , u e (sin xy sin yz sin zx) xyz = + = + + 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 1、先看由一个方程 所确定的隐函数求导法以及由方程组 所确定的隐 函数求导法。 F(x, y,z) = 0 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 根据复合函数求导法则, 在 F(x, y) 两边对 x 求导, 得到： y X X Y y F F F + F ⋅ y = ⇒ F ≠ y = − ' ' 0 0 时， 当方程中 的变量多 于 2 个时, 例如, 设 方 程 F(x, y,z) = 0 确 定 了 z是x和y 的函数, 并且 , ? y z x z z x y ∂ ∂ ∂ ∂ 关于 ， 的偏导数都存在，在此前，如何求 对 F(x, y,z) = 0 关于x，y求导，利用链式法则： 0 ( 0); 0 ( z z F F F F z z x F F z z y F F x z x x F F x z y y z z 0) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = ⇒ = − ≠ + = ⇒ = − ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 说明： （1）求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , 需要假定 ( ) ≠ 0, ∂ ∂ Fz z F ，这一假设是很重要的； （2）这里只用到了“链式法则”； （3）对 F(x, y,z) = 0求导，只在假定 z是x和y 的函数的情况下，求导数，如何确定 z = z(x, y) 。 （4） 不要死记公式，要掌握思想方法。 2、方程组的情形 设由方程组 确定了 ： ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v u,v是x, y,z的函数 u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 并且它们具