黄汉舟等：具有重特征值的阻尼线性系统振动 ·7· D(S)的分母恰好是特征方程左边表达式.可见，D。,(S)的极点与系统的特征值一一对应· 因此，D(s)按极点展开等价于按系统特征值展开，亦即D(S)可按系统全部相异特征值展 开为简单分式之和， 用式(5)左边代替式(7)右边分母，根据Heaviside展开定理将上式右边展开，得： D国（器+6等+高 (8) 式中，aa,,a均为待定系数，应用高等数学不难推证： a=0;al=0;a2=0;…;a=0;a=- Bpa(sj) (k,-1)det[MΠs,-s,) 因此式(8)可简化为： D-2 台s-, (9) 式中，a9= B(s) (k,-1)!det [M](s,-s:)k. 11 *」 从复变函数论的角度看，的表达式恰好为函数DS)在极点s,处留数表达式，故式 (9)中待定系数a等于D(s)在s,处的留数，即： apq=Res [Dpg(s).s 10) 式(9)和式(10)表明，如果系统有z个相异特征值，则传递函数矩阵任一元素可按这z 个相异特征值展开为z个简单分式之和，每个简单分式的分子由该元素对应特征值处的留数 表示。 既然传递函数矩阵任一元素均可按系统全部相异特征值展开为简单分式之和，传递函数 矩阵本身亦可按系统全部相异特征值展开为简单分式之和，即： D(s川'-2[A1 (11) 台s-s, 式中[A]为D[(s)]在s,处的留数矩阵，其任一元素由式(10)表示.· 3系统响应在时域中的实数表达式 把式(11)代人式(6)，得： Xe-客Qs+2A(MX+qK)会MX+店AM( S-S S-S 从形式上看.由于[A1[M]{X,}的存在，对式(12)两边作Laplac逆变换将会出现5 函数项.这意味着由于系统非零初位移的存在，响应中含有脉冲成分，从物理意义上是难以 想象的.实际上，用复变函数论不难证明召A1为零矩阵.因此.式(12)可表为：黄汉 舟 等 具 有重 特 征值 的阻 尼 线性 系统振 动 · · 的分母 恰 好是 特 征方 程 左边 表 达 式 可 见 ， 的极 点 与 系 统 的 特 征值一 一对应 · 因此 ， 按极 点展 开等 价于 按 系统特 征值展 开 ， 亦 即 。 可 按系统全部相异特征值展 开 为简单分式之 和 用式 左边代替 式 右 边分母 ， 根 据 展 开定理 将上 式 右边 展 开 ， 得 。 、一 夕八岁王 十 一 卜叫 ‘ 厂 尸 吮 。 ， 。 里孟。 下 、 ‘ 十 … 朴才 聋监。 一、 ， 、 ’ 。 。 气。 。 夕 气 少 ‘ 式 中 ， 决 ， 么 货 ， … ， 占 」 均 为待定 系数 ， 应 用 高等 数 学不难 推证 击 一 ’ 二 去 一 ’ … 偏 嵘 一 ‘ ’ “ ‘ 尽 」一 因此 式 可 简化 为 里圭生 一 · 一 同艺 式 中 ， 占 」一 ‘ ， ‘ 尽 』一 ’ 似 从复变 函数论 的角度看 ， 右 。 的 表 达 式 恰 好 为 函 数 在 极 点 处 留数表 达式 中待定 系数 右 。 等 于 在 」处 的 留数 ， 即 右 。 ， 」 式 和 式 表 明 ， 如果 系统有 个 相 异 特 征 值 ， 则 传 递 函 数 矩 阵 任 一 元 素 可 按 这 个相 异 特征值展 开 为 个 简单分式 之 和 ， 每个 简单分式 的分 子 由该元 素对应 特征值处 的 留数 表示 既然 传递 函数矩 阵任一元 素均 可 按 系统全部相 异 特 征值 展 开 为简单分式之 和 ， 传递 函 数 矩 阵本 身亦 可 按 系 统全部 相 异 特 征值 展 开 为 简单分式 之 和 ， 即 【 一冬兴 式 中 】为 一 ’ 在 处 的 留数矩 阵 ， 其任 一 元 素 由式 表示 系统响应在时域 中的实数表达式 把式 代人 式 ‘ ‘ 一 客兴 》 鲁 风 茂 艺鲁 阿，‘ ，·属 人，阿，‘ ， ‘ ， 从形式 上看 ， 由于 脚柳 ， 。 的存在 ， 对式 ’ ，两边 作 。 逆 变换将会 出现 ‘ 函数项 这意 味着 由于 系统非零初位移 的存 在 ， 响应 中含 有脉 冲成分 ， 从物理 意义上 是 难 以 想 象 的 实 际上 ， 用 复 变 函数论不 难证 明 ” 艺 』 】为零矩 阵 因此 ， 式 可表 为