·78· 北京科技大学学报 (X)A (Q+(M++IA1 MIX 台s-5 %8-5 台s-s (13) 对式(13)两边作Laplace逆变换便可得到响应在时间域中的复数表达式. 由于复特征值共轭成对出现，设系统有m对相异复特征值5、S、s2S、…、s。5m和ū个 相异实特征值【【z…、【,并记作s,=-+iw,=-1G=1,2,,m;1=1,2,…,u), 则系统对外激励响应和初条件响应在时间域中的实数表达式分别如式(14)和式(15)所示 (推导过程从略)： .(mA(g(d: +2叫。e-eodr (14) 式中，[A小[B】分别为系统传递函数矩阵在极点sr1处的留数矩阵G=1,2,,m 1=1,2,…,u)· (X(ty.=22ReAl《o-yo》cosm,t-o{yw}sm@,t)et m [A(o()+)im)e +店B,w-aye (15) 式中，{yo}=[M]{X},{yo}=C]{X}+[M]{Xo. 式(14)和式(15)等号右边之代数和即为系统对外激励和初条件的总响应. 当系统无重特征值时，其特征值、特征向量反映了系统本征运动的基本性质【3山，可以 证明[9，对应于任意阶特征值s的留数矩阵[A]的任一列都与对应阶特征向量之一线性相 关，所以，当系统无重特征值时，任意阶留数矩阵的列与对应阶特征向量均描述了系统对应 阶本征振动的振型， 从式(15)可以看到，系统任意阶特征值的负实部和虚部分别反映系统自由振动对应阶 振动成分的衰减率和振动频率，与特征值是否重特征值无关· 由前面系统特征值问题的讨论知道，对应于重数为k的特征值，当k,≥2时，线性无关 特征向量不是唯一的.而对于确定的系统在确定的初条件下任意阶振动响应是唯一的，因 此，在系统具有重特征值的情况下，对应于重特征值的特征向量不能确切描述系统自由振动 对应阶振动成分的振型， 4算例 一个简单的有粘性阻尼的扭振模型如图1所示.物理参数为J,=J3=J,=;J2=2Jk,=k2=k, =k;C1=C3=C4=C,Cn=2C.分别讨论在初速度0=1/J,=1,2,3,4)条件下系统的扭振响应. 系统扭振徽分方程矩阵形式为：· · 北 京 科 技 大 学 学 报 孙》 万兴 。 。 》 ·冬兴 ‘ ，‘风，· 旧‘凡，，·冬兴 ，，闪 ‘，，， 对式 两边作 优 逆 变换便可得到 响应在 时间域 中的复数表达式 由于复特征值共辘成 对出现 ， 设系 统有 对相 异复特征值 、 瓦 、 、 瓦 、 … 、 、 瓦 和 五 个 相 异 实 特 征 值 、 几 、 … 、 ， 并 记 作 一 又 。 ， ， 一 ， ， … ， ， ， … ， ， 则系统对外激励 响应和初条件 响应在 时间域 中的实数表 达式分别如式 和式 所示 推导过程从略 、 一 喀 一 ， 。 一 、 ，一 喀 一，。 一 。 ， · ·客、 一 式 中 ， ， ， ” ’ ， 【 、 ， 】分别 为 系 统 传递 函 数 矩 阵在极点 、 处 的 留数 矩 阵 ， ， ‘ · ’ ， “ ， 二 一 属 人 “ ， 。 一 ‘ 。 ’ ’ 一 “ 。 田 ” 一 ‘ ” 一 一 ’ ‘ 。 ， 夕 。 一 又， 。 一 ’ 」’ 各 夕 。 一 “ 。 一 “ ‘ ’ 式 中 ， 。 。 ， 夕 。 【 。 文 。 式 和式 等号右边 之代数和 即 为系 统 对外激励 和初 条件的总响应 当系统无重特布玉值时 ， 其特征值 、 特征 向量反 映 了系统本征 运 动的基本性质 氏民” 可 以 证 明 ， ’ 】 ， 对 应 于 任意 阶特 征 值 的 留 数矩 阵 【 的任一 列都与对应阶特征 向量 之一 线性相 关 所 以 ， 当系 统无重 特征值 时 ， 任意 阶 留数矩 阵的列 与对应 阶特征 向 均描述 了系 统对应 阶本征振动 的振 型 从式 可 以看到 ， 系 统任意 阶特征值 的负实部和虚部分别反 映系 统 自由振动对应 阶 振 动成分 的衰减率 和振动频率 ， 与特征值是 否 重 特征值无 关 由前 面系 统特征值问题 的讨论知道 ， 对应于 重数为 的特征值 ， 当 妻 时 ， 线性 无 关 特征 向量不是 唯一 的 而 对于 确定 的系 统 在 确 定 的 初 条 件 下 任 意 阶振 动 响 应 是 唯 一 的 因 此 ， 在 系统具有 重特征值的情 况 下 ， 对应于 重 特 征值的特征 向量 不能确切 描述 系 统 自由振动 对应 阶振 动成分 的振 型 算例 一个简单的有粘性阻尼 的扭振模型如图 所示 物理参数为 ， ， ， ， 姗州陀在初速度 户 ， 一 ， ， ， 条件下系统的扭振响应 系统扭振微分方程矩 阵形 式 为