(i)若(x)<+0,≤M<+ae,则∫可积.即有界测度空间上的有界可 测函数必可积 证明()设∫s8ae则f'sg'ae.由于g可积,因此g<+.于是由 定理5(l)得到 fd≤|g'd 因此∫的积分存在.类似可以证明若∫≥gae,则∫的积分存在 i)若/sgae,则∫sgae并且f≤gae由于g可积因此」gd和 ∫gd都是有限的由定理5(1知道∫广如和Jd都是有限值的,因此厂可积 (i1).若(x)<+,则常数函数g=M可积由(i)即知∫可积■ 0若x<1 例2设F( 若x≥1 f(x=al bl +cl 其中a,b,c≥0.计算LS积分{d 解注意到几(0+)=alo+blm+clu21是非负简单函数.由积分的定义得到 fd, (0,1)+b1({1})+(1,2]) (0,+∞) 不难算出 (0,1)=0,Hp({1})=1,Hp(1,2])=3 所以F=b 例3设∑a1是一个正项级数对任意121,令f()=a,则∫是自然数集的计数 测度空间(N,(N),)上的非负可测函数对每个n≥1令n=∑a,则{n}是 非负简单函数列并且处处成立厂n→∫(n→>∞).由积分的定义,我们有 fdu= lim f, du=lim 2a,u((i))=lim 这表明正项级数可以表示成一个积分.一般地,若任意项级数∑a绝对收敛则∑a可102 (iii).若 µ(X ) < +∞, f ≤ M < +∞ a.e., 则 f 可积. 即有界测度空间上的有界可 测函数必可积. 证明 (i).设 f ≤ g a.e. 则 a.e. + + f ≤ g . 由于 g 可积, 因此 . ∫ < +∞ + g dµ 于是由 定理 5 (iii) 得到 . ∫ ∫ ≤ < +∞ + + f dµ g dµ 因此 f 的积分存在. 类似可以证明若 f ≥ g a.e., 则 f 的积分存在. (ii).若 f ≤ g a.e., 则 f ≤ g a.e. + 并且 f ≤ g a.e. − 由于 g 可积, 因此 ∫ + g dµ 和 ∫ − g dµ 都是有限的.由定理 5 (iii) 知道 ∫ + f dµ 和 ∫ − f dµ 都是有限值的. 因此 f 可积. (iii).若 µ(X ) < +∞, 则常数函数 g = M 可积. 由(ii) 即知 f 可积. 例 2 设    ≥ < = 1. 0 1 ( ) 2 x x x F x 若 若 又设 ( ) . ( ,1) {1} (1,2] f x = aI + bI + cI −∞ 其中 a,b,c ≥ 0. 计算 L-S 积分 ∫(0,+∞) . F fdµ 解 注意到 (0, ) (0,1) {1} (1,2] fI = aI + bI + cI +∞ 是非负简单函数. 由积分的定义得到 ((0, 1)) ({1}) ((1, 2]). ∫( 0,+∞) F = a F + b F + F fdµ µ µ µ 不难算出 ((0,1)) = 0, ({1}) = 1, ((1,2]) = 3. µ F µ F µ F 所以 ∫ +∞ = + (0, ) fd b 3c. µ F 例 3 设 ∑ ∞ i=1 ai 是一个正项级数. 对任意i ≥ 1, 令 ( ) .i f i = a 则 f 是自然数集的计数 测度空间 (N,P (N),µ) 上的非负可测函数. 对每个 n ≥ 1, 令 . 1 ∑ { } = = n i n i i f a I 则{ }n f 是 非负简单函数列并且处处成立 f → f (n → ∞). n 由积分的定义, 我们有 lim lim ({ }) lim . 1 1 1 ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∞ = = →∞ = →∞ →∞ = = = = i i n i i n n i i n n n f dµ f dµ a µ i a a 这表明正项级数可以表示成一个积分. 一般地, 若任意项级数 ∑ ∞ i=1 ai 绝对收敛, 则∑ ∞ i=1 ai 可