以表示成(N,尹(N),4)上一个可积函数的积分.其证明留作习题 例4设f(x)是R”上的L可积函数y∈R",则f(x+y)是L可积的并且成 「nf(x+y)a=f( 证明由第三章习题第13题的结果,当∫(x)是L可测函数时,f(x+y)是L可测 的下面证明∫(x+y)是L可积的先设∫=∑a,4是非负简单函数则 f(x+y)=∑a14(x+y)=∑a,l4-,(x) 由积分的定义和L测度的平移不变性(§2.3定理8),我们有 「n1(x+y)dk=∑am(4-y)=∑am(4)=Jm(x)t 因此当∫是非负简单函数时,结论成立.当∫是非负可测函数时,存在一列非负简单函数 }使得k个∫.则由积分的定义和上面所证的结果我们有 「nf(x+y)dk=lmn[f(x+y)dk=lm」(x)k=,f()ak 当∫是L可积函数时易知∫(x+y)是L可积的,并且 R A(x+y)dx=je /(x+y)dr-J/(x+y) =』f(x)dk-(xh f(x)dx 因此对任意L可积函数f(x),(2)式成立■ 例4的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法.设我们要证明某一命题对 所有的可积函数都成立.若一开始就对一般可积函数证明比较困难时,可以先对可测集的 特征函数或者非负简单函数证明.然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明.最后再 对一般的可积函数证明命题成立 小结本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分. Lebesgue积分和 Lebesgue Stieljes积分都是其特例 Lebesgue积分有明显的几何意义本节还简单讨论可积条件例3 表明,在抽象测度空间上积分的框架下,可以把无穷级数与积分统一起来.例4的证明方 法是证明积分性质时常用的一种方法,应引起注意 习题习题四,第1题一第4题.103 以表示成(N,P (N),µ) 上一个可积函数的积分. 其证明留作习题. 例 4 设 f (x) 是 n R 上的 L 可积函数. y ∈ n R . 则 f (x + y)是 L 可积的并且成立. f (x y) ddx f (x) dx. ∫ n ∫ + = n R R (2) 证明 由第三章习题第 13 题的结果, 当 f (x) 是 L 可测函数时, f (x + y) 是 L 可测 的. 下面证明 f (x + y) 是 L 可积的. 先设 Ai k i i f ∑a I = = 1 是非负简单函数. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 f x y a I x y a I x A y k i A i k i i i i − = = + = ∑ + = ∑ 由积分的定义和 L 测度的平移不变性( 2.3 定理 8), 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 f x y dx a m A y a m A f x dx k i i k i ∫ n ∑ i i ∑ ∫ + = − = = = = n R R 因此当 f 是非负简单函数时, 结论成立. 当 f 是非负可测函数时, 存在一列非负简单函数 { }k f 使得 f f . k ↑ 则由积分的定义和上面所证的结果 我们有 f (x y) dx lim f (x y) dx lim f (x) dx f (x) dx. k k k k ∫ n ∫ ∫ ∫ + = + = = →∞ →∞ n n n R R R R 当 f 是 L 可积函数时,.易知 f (x + y) 是 L 可积的, 并且 f x y dx f x y dx f x y dx ∫ n ∫ n ∫ n + = + − + + − R R R ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx ∫ ∫ ∫ = = − + − n n n R R R 因此对任意 L 可积函数 f (x), (2)式成立. 例 4 的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法. 设我们要证明某一命题对 所有的可积函数都成立. 若一开始就对一般可积函数证明比较困难时, 可以先对可测集的 特征函数或者非负简单函数证明. 然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明. 最后再 对一般的可积函数证明命题成立. 小 结 本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分. Lebesgue 积分和 Lebesgue￾Stieljes 积分都是其特例. Lebesgue 积分有明显的几何意义.本节还简单讨论可积条件. 例 3 表明, 在抽象测度空间上积分的框架下, 可以把无穷级数与积分统一起来. 例 4 的证明方 法是证明积分性质时常用的一种方法, 应引起注意. 习 题 习题四, 第 1 题 第 4 题