线性代数重点难点30讲 第23讲矩阵运算方法与技巧(2) 、对称矩阵与反对称矩阵 关于对称矩阵即A=A或an=a1(i,j=1,2,…,n))与反对称矩阵(即A=-A 或a6=-an(i,j=1,2,…,n))命题的讨论要紧扣定义 例1设A是对称矩阵,B是反对称矩阵,则AB是反对称矩阵的充要条件是A,B可交 换:AB=BA 证必要性:即要由已知条件①A=An;②B=-B;③AB=-(AB)推导出AB BA.事实上由条件③得 AB =-(AB) 转置的反序律 BTAT条件(1),(2) (-B)·A=BA 充分性:即由已知条件①A=A",②B=-B;③AB=BA要推出AB=-(AB) 事实上,由条件③:AB=BA知 (AB)=(BA) 转置的反序律 条件(1),(2) A(-B)=-AB 即AB=-(AB) 例2证明任何一个n阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,并 且这种表示法是唯一的 证本题使我们联想到在高等数学中曾用构造函数法证明过的一个命题,即任何一个 函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和 (x)=K(2)24(-2(奇函数)+(x)+(=2(偶函数 类似地有 A=A-A A 下面证明A4、A+分别是反对称矩阵与对称矩阵由定义得 (424)=2(A-41y=(A2-(41)=1(A2-A)=-424 A+ A A+A 下面证明唯一性:设A=B1+C1,又A=B2+C2,其中B1,B2是对称矩阵,C1,C2是 反对称矩阵,于是有B1+C1=B2+C2,即有B1-B2=C2-C1,两端取转置,得 B1-B2=(B1-B2)=C2-C1=-C2+C1=-(C2-C1 所以B1-B2=O,即B1=B2,且有C2-C1=O,即C1=C2 故命题得证