VoL.22 No.4 李启楷等：Koch曲线与分维测量 ·355· <m>. 图1为典型的理想Koch曲线岛，初始图形 2Koch曲线的不同构造方式与分维测量 为正三角形，边长为3m,嵌套层次m=2(上)和3 设初始图形为正n边形，嵌套层次为m的 (下).它常被用作金属的冲击断口水平剖面图形 岛的初始图形周长和面积分别为： 的近似模型。 P。=3n (8) 然而，由于实际分形结构并不满足严格自 Ao=32(n/4)ctg(π/n) (9) 相似性，而是随机分形结构，材料的成分、组 若随机Koch曲线岛的初始图形(n边形)的 织和形变等的不均匀性都可能会导致断口上剖 边长为L。,对于岛的各边，去掉位于正中1/3边 面小岛分形结构的差异，这些都可能反映在随 长的线段，并用与之组成等边三角形的另外两 机变量分布区间的变化、岛的边长和形状的影 边代替.如此独立地、连续地迭代下去，即可获 响等方面，因此，剖面小岛的构造及其构造因素 得一个随机Koch曲线岛，其Hausdorff维数为 对分维测量的影响等方面的工作对分形的研究 1.2618. 有重要的理论意义和实际意义. (a) (b) (c) 图13类不同的Koch曲线岛.(a)向外长，(b)向内长，(c)随机地向内或向外长 Fig.1 Three type's Koch curve islands 2.1Koch曲线岛的边长效应 最为接近， 由(5)式，当Lo一ML,时，Koch曲线岛周长为 2.2Koch曲线岛的形状效应 L',则： 若Koch岛的初始图形不只是等边三角形 lgL(n)=DlgML.+(1-D)Ign (10) 而是正n边形，岛的嵌套结构仍为理想的Koch 于是 曲线结构.取n=3,4,5,…,30,嵌套层次为 IgL'-lgL=DlgM (11) m=1,2,3,4,且初始边长符合（亿oL=3m的规 (11)式反映了不同初始图形边长L。对1gL测 律的岛组作lgP-lgdn曲线，可以发现，n相等， 量的影响，只有L,相对变化相同的岛组所获得 下限尺度相同，m不同的岛组的数据点落在同 的数据点才可以得到理想分维值. 一条直线上，不同n值（初始图形的边数）的数据 对于初始图形边长分别为MLo和ML, 点形成的斜率为理想D值的平行直线族.由此 嵌套层次分别为m:和m2的岛组，则由此所确定 可见，当初始图形为正n边形时，只要岛组的下 的D值满足： 限尺度相等，仍可得到理想分维值.将n值不同 D-IgMLai-lgMLa=IgL-/L.:tlgM IgM Lo-IgM,Lo:Ig(d/d)M (12) 的各岛按不同的方式组合，发现在各种组合方 其中，M=M/M.可见，若K1,则D<D;若 式下，其维数总是小于理想分维值，且随n值差 M伦1，则D>D.通过对不同的岛组的组合，可以 的增大而减小，因此，为了获得与理想分维值尽 发现，只要有M牛1的岛组存在，统计维数总是 量接近的分维测量值，除了选择下限尺度相等 小于理想分维值，且维数随M丰1的岛系列对应 或相近的岛组外，还应使岛组中各岛的外形轮 的M一的增加而减小.因此，在实际分维测量 廓尽量相似. 过程中，应尽量选择具有相同或相近显微结构 2.3Koch曲线岛的嵌套层次的影响 的岛组，这样获得的分维平均值与理想分维值 如果属于相同自相似结构的2个Koch曲李 启楷等 曲线 与 分 维 测量 户 曲线 的不 同构造方式与分维测 量 设初 始 图形 为 正 边形 ， 嵌套层 次为 的 岛的初始 图形 周 长 和 面 积 分 别 为 二 。 加 汕 若 随机 曲线 岛 的初 始 图形 边 形 的 边长 为 。 ， 对 于 岛的各 边 ， 去 掉位 于 正 中 边 长 的线 段 ， 并 用 与 之 组 成 等 边 三 角 形 的 另 外 两 边代 替 如此 独立 地 、 连续 地 迭 代下 去 ， 即可 获 得 一 个 随机 曲线 岛 ， 其 维数 为 图 为典型 的理 想 曲线 岛 ， 初始 图形 为正 三 角形 ， 边 长 为 ， 嵌套 层 次 二 上 和 下 它常被用作金 属 的冲击 断 口 水平剖面 图形 的近 似 模 型 然而 ， 由于 实际 分形 结构 并不 满足 严格 自 相似 性 ， 而 是 随机分 形 结构 〔，” 材料 的成 分 、 组 织和 形 变等 的不 均匀性 都可 能会导致断 口 上 剖 面 小 岛分 形 结构 的差 异 ， 这 些 都 可 能 反 映在 随 机变 量 分布 区 间 的变化 、 岛 的边长 和 形 状 的影 响等 方面 因此 ， 剖面 小 岛的构造 及 其构造 因素 对分 维测量 的影 响等方 面 的工 作对 分形 的研 究 有 重 要 的理 论 意 义和 实 际 意 义 图 类不 同的 曲线岛 向外长 ， 向内长 ， 随机地 向内或 向外长 ， 曲线 岛的边长效应 由 式 ， 当 。 一 人忆 。 时 ， 曲线 岛周 长 为 ‘ ， 则 义叮 人忆 。 一 粉 于是 护一 式反 映 了不 同初始 图形 边长 。 对 测 量 的影 响 只 有 。 相 对 变化 相 同 的 岛组 所 获得 的数据 点才 可 以得 到 理 想 分 维 值 对 于 初 始 图 形 边 长 分 别 为 从 ， 和 城 ， 嵌 套层 次 分 别 为 和 的 岛组 ， 则 由此所确 定 的 值满足 肠 ，一 城 解 ， ， ， 肠 。 一 城 ， ‘ 其 中 ， 肠 腿 可 见 ， 若 人仁 ， 则 刀尺 。 若 九卜 ，则 通过对 不 同 的 岛组 的组 合 ， 可 以 发现 ， 只 要 有 人夕辛 的岛组 存 在 ， 统计 维数总 是 小于 理 想 分 维 值 ， 且 维数 随 材辛 的 岛系列对 应 的 材‘ 的增 加 而 减 小 因此 ， 在 实 际 分 维测 量 过 程 中 ， 应 尽 量 选择 具 有 相 同或 相 近显 微 结构 的 岛组 ， 这 样 获 得 的分 维 平 均值 与理 想 分 维 值 最 为接近 曲线岛的形状效应 若 岛的初始 图形 不 只 是 等边 三 角形 而 是 正 边 形 ， 岛 的嵌 套 结构 仍 为 理 想 的 曲 线 结 构 取 ，，，… ， ， 嵌 套 层 次 为 二 ， ， ， ， 且 初 始 边 长 符 合 ，， 的规 律 的 岛组 作 烤尸一 烤礁 曲线 ， 可 以发现 ， 相 等 ， 下 限 尺 度 相 同 ， 不 同 的 岛组 的数据 点 落 在 同 一 条直 线上 ， 不 同 值 初始 图形 的边 数 的数据 点形 成 的斜 率 为理 想 值 的平 行直 线 族 由此 可 见 ， 当初 始 图形 为正 边 形 时 ， 只 要 岛组 的下 限尺 度相 等 ， 仍可 得到理 想 分维值 将 值不 同 的各 岛按 不 同 的方式 组 合 ， 发 现在 各 种 组 合方 式下 ， 其维数总是 小于 理 想 分 维值 ， 且 随 值差 的增 大 而 减小 因此 ， 为 了获 得 与理 想 分 维值尽 量 接近 的分维测 量 值 ， 除 了选择下 限尺 度相 等 或 相 近 的 岛组 外 ， 还 应 使 岛组 中各 岛 的外形 轮 廓 尽 量相 似 曲线 岛的嵌套层次 的影 响 如 果 属 于 相 同 自相 似 结 构 的 个 曲