D0I:10.13374/j.issn1001053x.2000.04.050 第22卷第4期 北京科技大学学报 Vol.22 No.4 2000年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2000 Koch曲线与分维测量 李启楷) 张跃》李继忠》刘兵海”李玉清)赵咏秋) 1)北京科技大学材料科学与工程学院，北京1000832)华东理工大学，上海2002373)大冶特殊钢股份有限公司，黄石435001 摘要通过构造Koh曲线岛对剖面小岛法测得的分维的准确性和可靠性进行了研究，并 研究了Koh曲线岛的初始边长、形状和嵌套层次等构造因素对分维测量的影响.结果表明，剖 面小岛法不适合于作为纳米度域的分维测量方法. 关键词分形：分形维数：Koch曲线：分维测量；纳米度域 分类号TU45 近几年来，有些报道称用剖面小岛法对金 a:渴=老数 (1) 属断口进行分形研究时，通过测量断口上一组 其中，ε=Lo,n代表测量码尺的长度，L代表 剖面小岛周长一最大直径、周长一面积等参数 自相似结构上限长度（或叫起始图形的边长），D 而获得分形维数.Mandelbrot:最早在金属断口上 为分形岛周界分维.对(1)式两边取对数则有： 用周长一面积法测量了马氏体钢冲击断口的小 logP(s)=D/logA(e)+const (2) 岛周界的分维值，随后，许多人应用此方法测 可见，通过测量一系列分形岛的面积和周长，线 量了断口表面分维，并把这种方法应用到晶 性回归再拟合即可获得分形岛周界分维 粒组织、疲劳腐蚀坑、夹杂物等“的分维研究 1.2周长一最大直径方法 上，龙期威在Mandelbrot等人研究的无限层次 按照Mandelbrot理论o,分形曲线总长度 的理想分形结构的基础上，进一步认识到自然 L(e)为： 界中的实际分形结构是有限层次的，并由此测 L(e)=e-o,L(1)=1 (3) 量和讨论了实际结构的很多复杂情况，提出了 设码尺绝对长度”，起始图形长度（或自相 用周长一最大直径方法来测定小岛周界的维数 似结构上限)L,则由式(4)可以有2种方式求D 的方法.张跃等提出在纳米度域研究材料断 值： 裂的分形维数倒 L(n)=Lo-On-D (4) 应用不同的分形理论和不同的测量方法所 (1)固定L,通过改变n求D,此即通常的Ri 得的分维值缺乏可比性和稳定性，尤其是在纳 chardson方法： 米度域，因测量度域的限制，有的分维测量方法 (2)固定n,改变L。求D,由此导出周长一 可能会完全失效.为了探讨剖面小岛法的可靠 最大直径方法刀. 性和稳定性，我们通过构造不同分维的分形曲 IgL(n)=DIgLo+(1-D)Ign (5) 线岛，研究了岛的不同构造方式同分维值和分 设有大小不同的相似分形岛，其起始图形 维测量的关系.在这些研究的基础上，对剖面小 为L,相似岛的最大直径(d),和它呈比例，即 岛法在纳米度域的适用性等问题进行了研究. La=m(d):,对于大小不同的相似岛，m应为常 数.这样，(5)式变为： 1剖面小岛法分维测量方法 IgL,(n)=Dlgm+(1-D)Ig)n+Dlg(d),(6) 1.1周长一面积方法 由于固定码尺长度，因此 利用周长一面积方法测量分形岛周界分维 IgL(n)=const+Dlg(d), (7 的理论基础是o: 作lgl(n)一lg(dn),图形便可以从直线的斜 2000-01-06收稿李启楷男，41岁，高级工程师 率求出分维值，测出D之后从截距又可得m值. *国家自然科学基金资助课题(No.59771050:59872004) 选择多个n,便可获得D,和m,的平均值<D>和第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ’ 一 曲线与分维测 量 李启楷 ” 张 跃 ‘， 李继 忠 ” 刘兵海 ” 北京科技大学材料科学与工程学 院 ， 北京 华东理工大学 ， 上海 李玉 清 ” 赵咏秋 ” 大冶特殊钢股份有限公司 ， 黄石 摘 要 通 过 构造 曲线 岛对 剖 面 小 岛法测 得 的分 维 的准 确 性和 可 靠性进行 了研 究 ， 并 研 究 了 曲线 岛的初 始边 长 、 形 状 和 嵌 套 层 次等构造 因素 对 分维测 量 的影 响 结果表 明 ， 剖 面 小 岛法 不 适合 于作 为纳米度域 的分维测 量方法 关键词 分 形 分 形 维 数 曲线 分 维测 量 纳 米度域 分 类号 近 几 年来 ， 有 些 报 道 称 用 剖 面 小 岛法 对 金 属 断 口 进 行 分形 研 究时 ， 通 过测 量 断 口 上 一 组 剖 面 小 岛周 长一最 大 直 径 、 周 长一面 积 等 参 数 而 获得分形 维 数 最 早 在金 属 断 口 上 用 周 长一面积法 测 量 了 马 氏体钢 冲 击 断 口 的小 岛周 界 的 分 维 值〔” ， 随 后 ， 许 多人 应 用 此 方 法 测 量 了断 口 表 面 分 维 【， ， 并把 这 种 方 法 应 用 到 晶 粒 组 织 、 疲 劳腐蚀坑 、 夹杂物等 ‘侧 的 分维研 究 上 龙 期 威 在 等 人 研 究 的无 限层 次 的理 想分 形 结构 的基础 上 ， 进 一 步认 识 到 自然 界 中 的 实 际 分 形 结 构 是 有 限层 次 的 ， 并 由此 测 量 和 讨 论 了实 际 结构 的很 多复杂 情 况 ， 提 出 了 用 周 长一最 大 直径方法来测 定 小 岛周 界 的维数 的方 法 ‘， 张 跃 等提 出在 纳 米 度域 研 究材 料 断 裂 的分形 维 数 〔 应 用 不 同 的分 形 理 论 和 不 同 的测 量 方 法 所 得 的分 维值缺 乏 可 比性和 稳 定 性 尤其 是 在纳 米度 域 ， 因测 量 度 域 的 限制 ， 有 的分 维测 量 方法 可 能会完全 失效 为 了探 讨 剖面 小 岛法 的可 靠 性 和 稳 定性 ， 我 们 通过 构 造 不 同分 维 的分形 曲 线 岛 ， 研 究 了 岛的 不 同构 造 方 式 同分 维 值 和 分 维测 量 的关 系 在这 些研 究 的基 础 上 ， 对 剖面 小 岛法 在 纳 米 度 域 的 适 用 性 等 问题进 行 了研 究 曰 从幻 万丁不而 ’ 苦性 又石少 吊 戮 剖面小 岛法分维测量方法 周 长一面积方法 利用 周 长一面 积 方 法 测 量 分 形 岛周 界 分 维 的理 论 基 础 是‘ · 收稿 李启 楷 男 ， 岁 ， 高级 工 程师 国家 自然 科学基金 资助课 题 其 中 ， 粉 。 ， 叮代表测量码尺 的长度 ， 。 代表 自相似结构上 限长度 或叫起始 图形 的边长 ， 为分形 岛周 界分维 对 式两边取对数则有 可见 ， 通过测量一 系列分形 岛的面积和周长 ， 线 性 回归再拟合 即可获得分形 岛周 界分维 周长一最大直径方法 按 照 理 论 ’ ， 分 形 曲线总长度 日为 幼 ，一 ， 设码 尺 绝 对长 度粉 ， 起 始 图形 长 度 或 自相 似 结 构上 限 。 ， 则 由式 可 以有 种 方 式 求 值 叮 二 吕 一 叮，一 固定 。 ， 通过 改变 叮求 ， 此 即通常 的 形 方法 固 定 叮 ， 改变 。 求 ， 由此 导 出 周 长一 最 大直 径方法’， 叮 。 一 粉 设 有 大 小 不 同 的相 似 分 形 岛 ， 其 起 始 图形 为 ‘ ， 相 似 岛的最大直径 呱叮 ‘ 和 它 呈 比例 ， 即 ， 氏肛 ，，对 于 大 小不 同 的相 似 岛 ， 应 为常 数 这 样 ， 式变 为 ‘ 叮 一 叮 。 氏麟 ‘ 由于 固定码 尺 长 度叮 ， 因 此 ， 叮 ‘ ‘ 作 功 一 ， 图形 便 可 以从直 线 的斜 率求 出分 维值 ， 测 出 之 后 从截距 又 可 得 值 选择 多个 粉 ‘ ， 便可 获得 ， 和 ‘ 的平均值 之 和 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2000．04．050