第36卷第5期 北京科技大学学报 Vol.36 No.5 2014年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 2014 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 张晓丹，高 成 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:bkdzxd@163.com 摘要基于奇函数，提出了一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼.对该类系统进行 了数值模拟，对其一些基本的动力学行为进行了分析，如平衡点、耗散性和Lyapunov指数.研究了混沌系统的参数敏感性，讨 论了系统相图随参数变化所呈现的周期、混沌等状态.设计了一个混动系统的振荡电路，通过MULTISIM得到的相图与数值 模拟结果具有良好的一致性. 关键词混沌系统：设计：奇函数：动力学分析：电路模拟 分类号0193：0415.5 Design and circuit implementation of a kind of 4D four-wing chaotic system based on the odd function ZHANG Xiao-dan,GAO Cheng School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:bkdzxd@163.com ABSTRACT A kind of four-dimensional (4D)four-wing chaotic system was proposed based on the odd function.The chaotic system can generate four wings on a certain plane by adjusting some parameters.Its basic dynamic behaviors including equilibria,dissipativity and Lyapunov exponents were analyzed by numerical simulation.The sensitivity of system parameters to the chaotic behavior was also studied.When the parameters vary,the phase diagram can present periodic orbits,chaos,and other states.An oscillation circuit was designed for the chaotic system,and MUTISIM observed results have a good consistency with numerical simulation KEY WORDS chaotic systems;design;odd functions:dynamic analysis:circuit simulation 自Lorenz系统模型O被首次提出后，混沌理论得 回函数，将对称的两个系统连接到一起，形成了四 到了很大的发展，随着混沌在保密通信领域的广泛应 翼.文献l0]将两个经典Lorenz耦合在一起，从而 用，产生更为复杂的混沌系统成为了一个研究热点 获得一个有四翼吸引子的混沌系统.文献1-13] 许多文献通过引入分段函数)或者非线性函 通过采用双极性化轴的方法，形成四翼.文献14] 数，增加系统指标为2的平衡点的个数，从而构造出 通过Julia分形过程，对Lorenz以及耦合Lorenz系统 多翼、网格翼等混沌系统，如使用锯齿波函数、 进行迭代，产生了多翼.文献15-16]通过在每一 滞回函数)、三角函数圆构造多翼混沌系统 个方程都加入了一个三次交叉乘积项，构造出四维 Lorenz等传统混沌系统只能产生二翼，只局限 四翼混沌系统.文献7]对一类三维自治系统进行 于正半轴空间，不能向负半轴发展.研究如何构建 分析，提出系统可能形成四翼的三个条件 四翼光滑的自治系统也成为了一个主要的方向.文 本文首先基于一元可微奇函数提出了一类的四 献9]通过坐标变换的方法，把符号函数替换成滞 翼四维混沌系统，其次推广至多元齐次函数，对混沌 收稿日期：2013-0307 基金项目：中央高校基本科研业务费资助项目(06108128) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.05.017:http://journals.ustb.edu.cn第 36 卷 第 5 期 2014 年 5 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 5 May 2014 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 张晓丹，高 成 北京科技大学数理学院，北京 100083  通信作者，E-mail: bkdzxd@ 163． com 摘 要 基于奇函数，提出了一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼． 对该类系统进行 了数值模拟，对其一些基本的动力学行为进行了分析，如平衡点、耗散性和 Lyapunov 指数． 研究了混沌系统的参数敏感性，讨 论了系统相图随参数变化所呈现的周期、混沌等状态． 设计了一个混动系统的振荡电路，通过 MULTISIM 得到的相图与数值 模拟结果具有良好的一致性． 关键词 混沌系统; 设计; 奇函数; 动力学分析; 电路模拟 分类号 O 193; O 415. 5 Design and circuit implementation of a kind of 4D four-wing chaotic system based on the odd function ZHANG Xiao-dan ，GAO Cheng School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: bkdzxd@ 163． com ABSTＲACT A kind of four-dimensional ( 4D) four-wing chaotic system was proposed based on the odd function． The chaotic system can generate four wings on a certain plane by adjusting some parameters． Its basic dynamic behaviors including equilibria，dissipativity and Lyapunov exponents were analyzed by numerical simulation． The sensitivity of system parameters to the chaotic behavior was also studied． When the parameters vary，the phase diagram can present periodic orbits，chaos，and other states． An oscillation circuit was designed for the chaotic system，and MUTISIM observed results have a good consistency with numerical simulation． KEY WOＲDS chaotic systems; design; odd functions; dynamic analysis; circuit simulation 收稿日期: 2013--03--07 基金项目: 中央高校基本科研业务费资助项目( 06108128) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 05． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 自 Lorenz 系统模型［1］被首次提出后，混沌理论得 到了很大的发展，随着混沌在保密通信领域的广泛应 用，产生更为复杂的混沌系统成为了一个研究热点． 许多文献通过引入分段函数［2--3］或者非线性函 数，增加系统指标为 2 的平衡点的个数，从而构造出 多翼、网格翼等混沌系统，如使用锯齿波函数［4--6］、 滞回函数［7］、三角函数［8］构造多翼混沌系统． Lorenz 等传统混沌系统只能产生二翼，只局限 于正半轴空间，不能向负半轴发展． 研究如何构建 四翼光滑的自治系统也成为了一个主要的方向． 文 献［9］通过坐标变换的方法，把符号函数替换成滞 回函数，将对称的两个系统连接到一起，形成了四 翼． 文献［10］将两个经典 Lorenz 耦合在一起，从而 获得一个有四翼吸引子的混沌系统． 文献［11--13］ 通过采用双极性化轴的方法，形成四翼． 文献［14］ 通过 Julia 分形过程，对 Lorenz 以及耦合 Lorenz 系统 进行迭代，产生了多翼． 文献［15--16］通过在每一 个方程都加入了一个三次交叉乘积项，构造出四维 四翼混沌系统． 文献［17］对一类三维自治系统进行 分析，提出系统可能形成四翼的三个条件． 本文首先基于一元可微奇函数提出了一类的四 翼四维混沌系统，其次推广至多元齐次函数，对混沌