基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现

第36卷第5期 北京科技大学学报 Vol.36 No.5 2014年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 2014 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 张晓丹，高 成 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:bkdzxd@163.com 摘要基于奇函数，提出了一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼.对该类系统进行 了数值模拟，对其一些基本的动力学行为进行了分析，如平衡点、耗散性和Lyapunov指数.研究了混沌系统的参数敏感性，讨 论了系统相图随参数变化所呈现的周期、混沌等状态.设计了一个混动系统的振荡电路，通过MULTISIM得到的相图与数值 模拟结果具有良好的一致性. 关键词混沌系统：设计：奇函数：动力学分析：电路模拟 分类号0193：0415.5 Design and circuit implementation of a kind of 4D four-wing chaotic system based on the odd function ZHANG Xiao-dan,GAO Cheng School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:bkdzxd@163.com ABSTRACT A kind of four-dimensional (4D)four-wing chaotic system was proposed based on the odd function.The chaotic system can generate four wings on a certain plane by adjusting some parameters.Its basic dynamic behaviors including equilibria,dissipativity and Lyapunov exponents were analyzed by numerical simulation.The sensitivity of system parameters to the chaotic behavior was also studied.When the parameters vary,the phase diagram can present periodic orbits,chaos,and other states.An oscillation circuit was designed for the chaotic system,and MUTISIM observed results have a good consistency with numerical simulation KEY WORDS chaotic systems;design;odd functions:dynamic analysis:circuit simulation 自Lorenz系统模型O被首次提出后，混沌理论得 回函数，将对称的两个系统连接到一起，形成了四 到了很大的发展，随着混沌在保密通信领域的广泛应 翼.文献l0]将两个经典Lorenz耦合在一起，从而 用，产生更为复杂的混沌系统成为了一个研究热点 获得一个有四翼吸引子的混沌系统.文献1-13] 许多文献通过引入分段函数)或者非线性函 通过采用双极性化轴的方法，形成四翼.文献14] 数，增加系统指标为2的平衡点的个数，从而构造出 通过Julia分形过程，对Lorenz以及耦合Lorenz系统 多翼、网格翼等混沌系统，如使用锯齿波函数、 进行迭代，产生了多翼.文献15-16]通过在每一 滞回函数)、三角函数圆构造多翼混沌系统 个方程都加入了一个三次交叉乘积项，构造出四维 Lorenz等传统混沌系统只能产生二翼，只局限 四翼混沌系统.文献7]对一类三维自治系统进行 于正半轴空间，不能向负半轴发展.研究如何构建 分析，提出系统可能形成四翼的三个条件 四翼光滑的自治系统也成为了一个主要的方向.文 本文首先基于一元可微奇函数提出了一类的四 献9]通过坐标变换的方法，把符号函数替换成滞 翼四维混沌系统，其次推广至多元齐次函数，对混沌 收稿日期：2013-0307 基金项目：中央高校基本科研业务费资助项目(06108128) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.05.017:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 5 期 2014 年 5 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 5 May 2014 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 张晓丹，高 成 北京科技大学数理学院，北京 100083  通信作者，E-mail: bkdzxd@ 163． com 摘 要 基于奇函数，提出了一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼． 对该类系统进行 了数值模拟，对其一些基本的动力学行为进行了分析，如平衡点、耗散性和 Lyapunov 指数． 研究了混沌系统的参数敏感性，讨 论了系统相图随参数变化所呈现的周期、混沌等状态． 设计了一个混动系统的振荡电路，通过 MULTISIM 得到的相图与数值 模拟结果具有良好的一致性． 关键词 混沌系统; 设计; 奇函数; 动力学分析; 电路模拟 分类号 O 193; O 415. 5 Design and circuit implementation of a kind of 4D four-wing chaotic system based on the odd function ZHANG Xiao-dan ，GAO Cheng School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: bkdzxd@ 163． com ABSTＲACT A kind of four-dimensional ( 4D) four-wing chaotic system was proposed based on the odd function． The chaotic system can generate four wings on a certain plane by adjusting some parameters． Its basic dynamic behaviors including equilibria，dissipativity and Lyapunov exponents were analyzed by numerical simulation． The sensitivity of system parameters to the chaotic behavior was also studied． When the parameters vary，the phase diagram can present periodic orbits，chaos，and other states． An oscillation circuit was designed for the chaotic system，and MUTISIM observed results have a good consistency with numerical simulation． KEY WOＲDS chaotic systems; design; odd functions; dynamic analysis; circuit simulation 收稿日期: 2013--03--07 基金项目: 中央高校基本科研业务费资助项目( 06108128) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 05． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 自 Lorenz 系统模型［1］被首次提出后，混沌理论得 到了很大的发展，随着混沌在保密通信领域的广泛应 用，产生更为复杂的混沌系统成为了一个研究热点． 许多文献通过引入分段函数［2--3］或者非线性函 数，增加系统指标为 2 的平衡点的个数，从而构造出 多翼、网格翼等混沌系统，如使用锯齿波函数［4--6］、 滞回函数［7］、三角函数［8］构造多翼混沌系统． Lorenz 等传统混沌系统只能产生二翼，只局限 于正半轴空间，不能向负半轴发展． 研究如何构建 四翼光滑的自治系统也成为了一个主要的方向． 文 献［9］通过坐标变换的方法，把符号函数替换成滞 回函数，将对称的两个系统连接到一起，形成了四 翼． 文献［10］将两个经典 Lorenz 耦合在一起，从而 获得一个有四翼吸引子的混沌系统． 文献［11--13］ 通过采用双极性化轴的方法，形成四翼． 文献［14］ 通过 Julia 分形过程，对 Lorenz 以及耦合 Lorenz 系统 进行迭代，产生了多翼． 文献［15--16］通过在每一 个方程都加入了一个三次交叉乘积项，构造出四维 四翼混沌系统． 文献［17］对一类三维自治系统进行 分析，提出系统可能形成四翼的三个条件． 本文首先基于一元可微奇函数提出了一类的四 翼四维混沌系统，其次推广至多元齐次函数，对混沌

第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 681· 系统进行了数值模拟，对其动力学行为进行了分析， 式中：a1>0,a2>0,a3>0,a4>0,a5>0,b1>0,b2> 讨论了其类型与四翼形状的关系，分析了混沌行为 0,b>0是参数：f(x)是单调可微的奇函数.通过对 的参数敏感性，并设计了一个相应的混沌电路 参数的调整，系统(1)有可能形成四翼混沌状态 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=2,b1=1, 1混沌系统动力学行为分析 b2=1,b3=1,(x)=x时，初值取(0.5，-0.5， 本文研究如下四维动力系统： -0.5,0.5),系统(1)在x-y,x-z平面呈现明显 [=ax-biyz-az, 的四翼混沌状态，见图L.此时该系统的Lyapunov y=baxz-a2y, 指数为LE,=0.8336,LE2=0.0759,LE3= (1) 2=b3xy-a3z+asw, -0.6923,LE,=-17.2020,具有正的Lyapunov指 数，显示系统(1)是混沌的. lio=f(x). xy平面图 x-:平面图 40 10 -10 -20 -20 -30 300-30-20-10010203040 4040-30-20-10010203040 图1f(x)=(x)时系统(1)的xy和x:平面相图 Fig.1 xy and x plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f(x) 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=0.008,b1= Lyapunov指数为LE1=0.3386,LE2=0.0119,LE3= 1,b2=1,b3=1,5(x)=x3时，初值取(1，-1，-1， -0.3191,LE,=-17.0315,验证了其混沌特性 1),系统(1)形成了如图2所示四翼状态。该系统的 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=1,b1=1, xy平面图 40 x:平面图 30 20 20 10 0 -10 -20 20 -3040-30-20-10010203040 4 -40-30-20-10010203040 图2f(x)=f方(x)时系统(1)的xy和x=平面相图 Fig.2 x-y and x-plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f (x)

第 5 期 张晓丹等: 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 系统进行了数值模拟，对其动力学行为进行了分析， 讨论了其类型与四翼形状的关系，分析了混沌行为 的参数敏感性，并设计了一个相应的混沌电路． 1 混沌系统动力学行为分析 本文研究如下四维动力系统: x · = a1 x － b1 yz － a4 z， y · = b2 xz － a2 y， z · = b3 xy － a3 z + a5w， w · = f( x)        ． ( 1) 式中: a1 ＞ 0，a2 ＞ 0，a3 ＞ 0，a4 ＞ 0，a5 ＞ 0，b1 ＞ 0，b2 ＞ 0，b3 ＞ 0 是参数; f( x) 是单调可微的奇函数． 通过对 参数的调整，系统( 1) 有可能形成四翼混沌状态． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 2，b1 = 1， b2 = 1，b3 = 1，f1 ( x) = x 时，初值 取 ( 0. 5，－ 0. 5， － 0. 5，0. 5) '，系统( 1) 在 x － y，x － z 平面呈现明显 的四翼混沌状态，见图 1． 此时该系统的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 8336，LE2 = 0. 0759，LE3 = － 0. 6923，LE4 = － 17. 2020，具有正的 Lyapunov 指 数，显示系统( 1) 是混沌的． 图 1 f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 1 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f1 ( x) 图 2 f( x) = f2 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 2 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f2 ( x) 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 0. 008，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，f2 ( x) = x 3 时，初值取( 1，－ 1，－ 1， 1) '，系统( 1) 形成了如图 2 所示四翼状态． 该系统的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 3386，LE2 = 0. 0119，LE3 = － 0. 3191，LE4 = － 17. 0315，验证了其混沌特性． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 1，b1 = 1， · 186 ·

·682 北京科技大学学报 第36卷 b2=1,b3=1, 时，初值取(1,1,1,1)，系统(1)形成了如下的四翼 x≤-T/2, 混沌状态，如图3.此时该系统的Lyapunov指数为 5(x)s sinx -T/2T/2 LE4=-16.9504,表明系统呈现混沌状态. y平面图 x:平面图 30 20 20 10 0 -10 20 30 -40 4050-40-30-20-1001020304050 -5030-40-30-20-1001020304050 图3f(x)=f方(x)时系统(1)的xy和x:平面相图 Fig.3 xy and x plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f (x) 1.1耗散性 入1=-a2 对于系统(1)有 -p-2ies(号） Tv=班+y+2+驰=a,-a,-a A2= 当a1-a2-a30时，式(3)有两个实根和一对共轭复根，即 a 0 -a401 入1=-a2, 0 -a2 0 0 J= 0 -a3a5 =p-江-盗 3 0 00J 式中，d=f(0).J的特征方程为 A4p+沉+酒：江：还 6 6 F(A)=(+a,)3+(-a1+a3)A2- a1a3入+a4a5d]. (2) 式中，出=加+2(-B士0.当-2印+沉+ 令p=-a1+a3q=-aa3,k=a4asd,则式(2)为 万>0时，平衡点为鞍焦点.本文取a1=4,a2= F(A)=(A+a2)(A3+PM2+qA+k).(3) 14,a3=6.9,a4=13.1,a5=2,b1=1,b2=1,b3=1, 设A=p2-3q,B=p9-9k,C=g2-3k,4=B2- f(x)=x,此时4=34952>0，系统(1)在平衡点 4AC,根据盛金公式，当△<0时，式(3)有四个不相 S(0,0,0,0)的特征值为入1=-14，入2=-7.3691， 等的实根 A3=2.2345-0.5830i,入4=2.2345+0.5830i,A1·

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 b2 = 1，b3 = 1， f3 ( x) = － 1 x≤ － π/2， sinx － π/2 ＜ x≤π/2， 1 x ＞ π/ { 2 时，初值取( 1，1，1，1) '，系统( 1) 形成了如下的四翼 混沌状态，如图 3． 此时该系统的 Lyapunov 指数为 LE1 = 0. 7066，LE2 = － 0. 0935，LE3 = － 0. 6246， LE4 = － 16. 9504，表明系统呈现混沌状态． 图 3 f( x) = f3 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 3 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f3 ( x) 1. 1 耗散性 对于系统( 1) 有 Δ V = x · x + y · y + z · z + w · w = a1 － a2 － a3 ． 当 a1 － a2 － a3 ＜ 0 时系统( 1) 是耗散的，并以指数形 式dV dt = e( a1 － a2 － a3) t 收敛，当 t→∞ 时初始体积元将收 敛到 0，说明了吸引子的存在性． 1. 2 平衡点分析 因为 f( x) 在 Ｒ 上是单调可微奇函数，因此当 f( x) = 0时，有 x = 0． 所以系统( 1) 只有唯一一个零 平衡点 S( 0，0，0，0) ． 在 S 处系统( 1) 的雅克比矩阵 为 J = a1 0 － a4 0 0 － a2 0 0 0 0 － a3 a5 d            0 0 0  ． 式中，d = f'( 0) ． J 的特征方程为 F( λ) = ( λ + a2) ［λ3 + ( － a1 + a3 ) λ2 － a1 a3λ + a4 a5 d］． ( 2) 令 p = － a1 + a3，q = － a1 a3，k = a4 a5 d，则式( 2) 为 F( λ) = ( λ + a2 ) ( λ3 + pλ2 + qλ + k) ． ( 3) 设 A = p 2 － 3q，B = pq － 9k，C = q 2 － 3pk，Δ = B2 － 4AC，根据盛金公式，当 Δ ＜ 0 时，式( 3) 有四个不相 等的实根． λ1 = － a2， λ2 = － p － 2 槡A ( cos θ ) 3 3 ， λ3，4 = － p + 槡A [ ( cos θ ) 3 ± 3sin 槡 ( θ ) ] 3 3 ． 式中，θ = arccos ( 2Ap － 3B 2 3 槡A ) 2 ． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 2，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，f( x) = x 时， Δ = － 274548． 系统( 1) 在平衡点 S( 0，0，0，0) '的特 征值 λ1 = － 14，λ2 = 3. 9538，λ3 = 0. 0720，λ4 = － 7. 0258，即该平衡点是系统指标为 2 的鞍点． 当 Δ ＞ 0 时，式( 3) 有两个实根和一对共轭复根，即 λ1 = － a2， λ2 = － p － 3 槡Y1 － 3 槡Y2 3 ， λ3，4 = － 2p + 3 槡Y1 + 3 槡Y2 6 ± i 3 槡Y1 － 3 槡Y2 6 槡3． 式中，Y1，Y2 = Ap + 3 2 ( － B ± 槡Δ) ． 当 － 2p + 3 槡Y1 + 3 槡Y2 ＞ 0 时，平衡点为鞍焦点． 本文取 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 6. 9，a4 = 13. 1，a5 = 2，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1， f( x) = x，此时 Δ = 34952 ＞ 0，系 统 ( 1 ) 在 平 衡 点 S( 0，0，0，0) '的特征值为 λ1 = － 14，λ2 = － 7. 3691， λ3 = 2. 2345 － 0. 5830i，λ4 = 2. 2345 + 0. 5830i，λ1· · 286 ·

第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 ·683· Re(A3,a)<0,A2Re(A3,A4)<0,即平衡点是系 于y轴的两边；x-z平面上，四翼也两两一组，分别 统指标为2的鞍焦点.此时我们发现系统仍然能产 位于x轴两边.此时的Lyapunov指数为LE,= 生四翼，但是位置上发生了很大的变化.如图4，x- 0.2841,LE2=-0.0412,LE3=-0.6204,LE4= y平面上，四翼两两一组，沿x轴方向排列，分别位 -16.4526,表明系统呈现混沌状态. )平面图 纯 :平面图 20 2 0 0 50 40-30-20-10010203040 -6040-30-20-10010203040 图4a4=13.1,f(x)=f(x)时系统(1)的xy,x平面相图 Fig.4 x-y,x plane phase diagrams of system (1)when aa =13.I and f(x)=f (x) 综上分析，当f(x)是单调可微奇函数且平衡点 吃 S(0,0,0,0)‘是指标为2的鞍点或鞍焦点时，系统 40 (1)有可能形成四翼混沌. 20 2系统参数灵敏性分析 103 0 在数值模拟中，我们发现线性项系数a4对系统 -10 的相图影响较大.取f(x)=x,令a1=4,a2=14, 20 a3=7,a5=3,让a4在，40]上变化，得到Lyapunov -30 指数(Lyapunov exponent,LE)谱图如图5，以及状态 -40 -50 变量y随着a,变化的分岔图如图6. 10152025303540 LE 图6状态变量y随a4变化的分岔图 -2 Fig.6 Bifurcation diagram of state variable y changing with a -4 -6 (1)的Lyapunov指数为(0，-，-，-)的情形，表明 4-8 此时系统为周期状态；当a4∈5.5,13.5]，系统(1) -10 的Lyapunov指数为(+，0，-，-)的情形，表明此时 -12 -14 系统又进入混沌状态；当a4∈3.5,40]时，系统 -16 (1)的Lyapunov指数再次变成(O,-,-,-)的情 -18 0 510152025303540 形，则系统呈现周期状态.图6所得的分岔情况也 与图5相对应. 图5 Lyapunov指数谱图 当a4=3,5.3,13,21时的系统相图如图7所 Fig.5 Spectra of Lyapunov exponents 示，可以明显地看出当a4=3∈0,4.7]和a4=13∈ 从图5中可以看出：当a4∈1,4.7]时，系统 5.5,13.5]时，系统(1)呈现混沌状态，如图7(a) (1)的Lyapunov指数为(+，0，-，-)的情形，表明 和7(c).当a4=5.3∈[4.7,5.5]和a4=21∈ 此时系统为混沌状态；当a4∈4.7,5.5]时，系统 13.5,40]时，系统(1)呈现周期状态，如图7(b)和

第 5 期 张晓丹等: 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 Ｒe( λ3，λ4 ) ＜ 0，λ2 ·Ｒe( λ3，λ4 ) ＜ 0，即平衡点是系 统指标为 2 的鞍焦点． 此时我们发现系统仍然能产 生四翼，但是位置上发生了很大的变化． 如图 4，x － y 平面上，四翼两两一组，沿 x 轴方向排列，分别位 于 y 轴的两边; x － z 平面上，四翼也两两一组，分别 位于 x 轴 两 边． 此 时 的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 2841，LE2 = － 0. 0412，LE3 = － 0. 6204，LE4 = － 16. 4526，表明系统呈现混沌状态． 图 4 a4 = 13. 1，f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 4 x-y，x-z plane phase diagrams of system ( 1) when a4 = 13. 1 and f( x) = f1 ( x) 综上分析，当 f( x) 是单调可微奇函数且平衡点 S( 0，0，0，0) '是指标为 2 的鞍点或鞍焦点时，系统 ( 1) 有可能形成四翼混沌． 2 系统参数灵敏性分析 在数值模拟中，我们发现线性项系数 a4 对系统 的相图影响较大． 取 f( x) = x，令 a1 = 4，a2 = 14， a3 = 7，a5 = 3，让 a4 在［1，40］上变化，得到Lyapunov 指数( Lyapunov exponent，LE) 谱图如图 5，以及状态 变量 y 随着 a4 变化的分岔图如图 6． 图 5 Lyapunov 指数谱图 Fig． 5 Spectra of Lyapunov exponents 从图 5 中可以看出: 当 a4 ∈［1，4. 7］时，系统 ( 1) 的 Lyapunov 指数为( + ，0，－ ，－ ) 的情形，表明 此时系统为混沌状态; 当 a4 ∈［4. 7，5. 5］时，系统 图 6 状态变量 y 随 a4变化的分岔图 Fig． 6 Bifurcation diagram of state variable y changing with a4 ( 1) 的 Lyapunov 指数为( 0，－ ，－ ，－ ) 的情形，表明 此时系统为周期状态; 当 a4∈［5. 5，13. 5］，系统( 1) 的 Lyapunov 指数为( + ，0，－ ，－ ) 的情形，表明此时 系统又进入混沌状态; 当 a4 ∈［13. 5，40］时，系统 ( 1) 的 Lyapunov 指数再次变成( 0，－ ，－ ，－ ) 的情 形，则系统呈现周期状态． 图 6 所得的分岔情况也 与图 5 相对应． 当 a4 = 3，5. 3，13，21 时的系统相图如图 7 所 示，可以明显地看出当 a4 = 3∈［1，4. 7］和 a4 = 13∈ ［5. 5，13. 5］时，系统( 1) 呈现混沌状态，如图 7( a) 和 7 ( c) ． 当 a4 = 5. 3 ∈［4. 7，5. 5］和 a4 = 21 ∈ ［13. 5，40］时，系统( 1) 呈现周期状态，如图 7( b) 和 · 386 ·

·684 北京科技大学学报 第36卷 7(d).从图7(d)中也可以看出当a4=21∈13.5， 40]时系统(1)的周期结构比较复杂. y平面图 :平面图 y平面图 一平面图 60 80 40 60 20 0 20 -20 0 40 -20 老 60 40 600 2525-15 51525 -3025-15 51525 y平面图 :平面图 xy平面图 x:平面图 20 60 10 40 0 0 -10 20 0 3 20 40 40 50 40 40 6050-30-101030 6050-30-10100 500-2002040 -8040-20 20 40 d 图7a4=3(a),5.3(b),13(c),21(d),f(x)=(x)时系统(1)的xy,x平面相图 Fig.7 xy and x plane phase diagrams of system (1)when aa=3 (a),5.3 (b),13 (c),21 (d)and f()=f (x) 掉“单调”条件，令f(x)=sin(x),其为周期性可微 3对函数f(x)的进一步讨论 奇函数，取a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=4.5, 前面各节假设f(x)是单调可微奇函数，当减弱 b1=1,b2=1,b3=1,初值取(1，-1，-1,1)“，系统 对f(x)的要求时，系统相图也有可能形成四翼.去 (1)呈现相似形状的四翼图像，如图8.系统(1)的 y平面图 x平面图 60 30 0 0 20 40 50 40-200204060 606040-200 2040 60 图8f(x)=f(x)时系统(1)的xy,xs平面相图 Fig.8,xplane phase diagrams of system (1)when f()=fa (

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 7( d) ． 从图 7( d) 中也可以看出当 a4 = 21∈［13. 5， 40］时系统( 1) 的周期结构比较复杂． 图 7 a4 = 3 ( a) ，5. 3 ( b) ，13 ( c) ，21 ( d) ，f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 7 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when a4 = 3 ( a) ，5. 3 ( b) ，13 ( c) ，21 ( d) and f( x) = f1 ( x) 图 8 f( x) = f4 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 8 x-y，x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f4 ( x) 3 对函数 f( x) 的进一步讨论 前面各节假设 f( x) 是单调可微奇函数，当减弱 对 f( x) 的要求时，系统相图也有可能形成四翼． 去 掉“单调”条件，令 f4 ( x) = sin( x) ，其为周期性可微 奇函数，取 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 4. 5， b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，初值取( 1，－ 1，－ 1，1) '，系统 ( 1) 呈现相似形状的四翼图像，如图 8． 系统( 1) 的 · 486 ·

第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 ·685· Lyapunov指数为LE,=1.3807,LE2=0.0790,LE,= a4=1,a5=0.4,b1=1,b2=1,b3=1,初值取(0.5， -0.3642,LE4=-18.0892,具有正的Lyapunov指 -0.5,-0.5,0.5),系统(1)呈现相似形状的四翼 数，从另一方面验证系统(1)是混沌系统 混沌状态，如图9，此时该系统的Lyapunov指数为 去掉“可微”条件，令f5(x)=sgn(x),其为在原 LE1=1.2136,LE2=0.0730,LE3=-0.3137,LE4= 点处不可微的奇函数.取a1=4,a2=14,a3=7, -17.9520,表明系统呈现混沌状态. y平面图 40 50 :平面图 30 20 30 10 -20 -30 40 40 50 -50 0 50 -50 0 50 图9f(x)=6(x)时系统(1)的xy,xe平面相图 Fig.9xplane phase diagrams of system (1)when f(x)=f (x) 进一步放松对f(x)的限制，若u=g(x,y,z)是a4=1,a5=3,b,=1,b2=1,b3=1,f6=sin(u),u= 多元函数，f(u)=f(g(x,y,z)),其中f(u)为奇函 x+0.8y+1.2z,初值取(0.5，-0.5，-0.5,0.5)， 数，g(x,yz)为齐次函数，g(x,0,0),g(0,y,0)， 系统(1)图像如图10.由于f(u)=sin为周期函 g(0,0,z)均是奇函数，则在一定条件下系统(1)也 数，该系统存在多个平衡点，但零点S(0,0,0,0)仍 能产生四翼混沌.例如，取a1=4,a2=14,a1=7, 为平衡点.经过计算，在零平衡点的特征根为入1= xy平面图 :平面图 60 80 40 60 -20 -40 -60 -8080-60-40-20020406080 -8050-60-40-20020406080 图10f(x)=f6(x)时系统(1)的xy,xs平面相图 Fig.10 y,xplane phase diagram of system (1)when f()=f()

第 5 期 张晓丹等: 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 Lyapunov 指数为 LE1 = 1. 3807，LE2 = 0. 0790，LE3 = － 0. 3642，LE4 = － 18. 0892，具有正的 Lyapunov 指 数，从另一方面验证系统( 1) 是混沌系统． 去掉“可微”条件，令 f5 ( x) = sgn( x) ，其为在原 点处不可微的奇函数． 取 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7， a4 = 1，a5 = 0. 4，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，初值取( 0. 5， － 0. 5，－ 0. 5，0. 5) '，系统( 1) 呈现相似形状的四翼 混沌状态，如图 9，此时该系统的 Lyapunov 指数为 LE1 = 1. 2136，LE2 = 0. 0730，LE3 = － 0. 3137，LE4 = － 17. 9520，表明系统呈现混沌状态． 图 9 f( x) = f5 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 9 x-y，x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f5 ( x) 图 10 f( x) = f6 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 10 x-y，x-z plane phase diagram of system ( 1) when f( x) = f6 ( x) 进一步放松对 f( x) 的限制，若 u = g( x，y，z) 是 多元函数，f( u) = f( g( x，y，z) ) ，其中 f( u) 为奇函 数，g( x，y，z) 为齐次函数，g( x，0，0) ，g( 0，y，0) ， g( 0，0，z) 均是奇函数，则在一定条件下系统( 1) 也 能产生四翼混沌． 例如，取 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7， a4 = 1，a5 = 3，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，f6 = sin( u) ，u = x + 0. 8y + 1. 2z，初值取( 0. 5，－ 0. 5，－ 0. 5，0. 5) '， 系统( 1) 图像如图 10． 由于 f( u) = sinu 为周期函 数，该系统存在多个平衡点，但零点 S( 0，0，0，0) '仍 为平衡点． 经过计算，在零平衡点的特征根为 λ1 = · 586 ·

·686 北京科技大学学报 第36卷 -14,入2=3.9259，A3=-7.3619,入4=0.4360，平衡 成运放的积分器、反比例加法器、反相器和乘法器构 点为指标为2的鞍点.经计算可知，系统(1)的 成，分别实现了系统(1)中的求导、加减、负号和乘 Lyapunov指数为LE,=1.0888,LE2=0.0692,LE3= 积运算. -0.4361,LE,=-17.6863,这显示系统具有混沌态 运放的电压本文取12V,电阻R,=R,=R= 4 新混沌系统的电路设计与实现 R=Rn=R2=Rg=Ra=l00kD,电容C1=C2= C3=C4=l0F,考虑到运放工作电压饱和的问题， 为了验证系统(1)的混沌行为，本节实现了系 统(1)(f(x)=x)的电路设计，如图11.该电路由集 将系统(1)作线性变换，使各坐标为原来的六取电 阻R1=25k2,R2=100k2,R13=10k2,R1= 100kD,R21=5kn,R2-7k2,R2=70k,R31= 7k,R2=10k2,R3=23k,R3=70k2,R41= 100k2,R4=100k2.按照上述条件对电路进行实 验，在示波器中得到相图，如图12.对比系统(1)数 值模拟图像可以看出，两者具有较好的一致性.混 沌电路的构建，对保密通信具有重要的应用价值. 5结论 基于一元奇函数提出了一类新的四维四翼混沌 系统，对其一些基本的动力学行为进行了讨论和理 论分析.通过数值模拟，讨论了参数的敏感性，以及 参数变化时系统相图对应的变化.设计并实现了系 统的振荡电路，实验与数值模拟具有良好的一致性. 本文提出的四翼系统在信息安全和保密通信等领域 图11系统(1)的电路设计 有着潜在的应用价值. Fig.11 Circuit design of system (1) 图12 Multisim电路仿真结果 Fig.12 Results of circuit simulation by Multisim 参考文献 845 B3]Bao B C,Liu Z,Xu J P,et al.Generation of multi-scroll hyper- [1]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow.J Atmos Sci,1963, chaotic attractor based on Colpitts oscillator model.Acta Phys Sin, 20(2):130 2010,59(3):1540 Zhang C X,Yu S M.Generation of multi-wing chaotic attractor in (包伯成，刘中，许建平，等.基于Colpitts振荡器模型生成的 fractional order system.Chaos Solitons Fractals,2011,44(10): 多涡卷超混沌吸引子.物理学报，2010,59(3)：1540)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 － 14，λ2 = 3. 9259，λ3 = － 7. 3619，λ4 = 0. 4360，平衡 点为指标为 2 的鞍点． 经计算可 知，系 统 ( 1 ) 的 Lyapunov指数为 LE1 = 1. 0888，LE2 = 0. 0692，LE3 = － 0. 4361，LE4 = － 17. 6863，这显示系统具有混沌态． 4 新混沌系统的电路设计与实现 为了验证系统( 1) 的混沌行为，本节实现了系 统( 1) ( f( x) = x) 的电路设计，如图11． 该电路由集 图 11 系统( 1) 的电路设计 Fig． 11 Circuit design of system ( 1) 成运放的积分器、反比例加法器、反相器和乘法器构 成，分别实现了系统( 1) 中的求导、加减、负号和乘 积运算． 运放的电压本文取 12 V，电阻 Ｒx = Ｒy = Ｒz = Ｒw = Ｒf1 = Ｒf2 = Ｒf3 = Ｒf4 = 100 kΩ，电容 C1 = C2 = C3 = C4 = 10 nF，考虑到运放工作电压饱和的问题， 将系统( 1) 作线性变换，使各坐标为原来的 1 10，取电 阻 Ｒ11 = 25 kΩ，Ｒ12 = 100 kΩ，Ｒ13 = 10 kΩ，Ｒ1 = 100 kΩ，Ｒ21 = 5 kΩ，Ｒ22 = 7 kΩ，Ｒ2 = 70 kΩ，Ｒ31 = 7 kΩ，Ｒ32 = 10 kΩ，Ｒ33 = 23 kΩ，Ｒ3 = 70 kΩ，Ｒ41 = 100 kΩ，Ｒ4 = 100 kΩ． 按照上述条件对电路进行实 验，在示波器中得到相图，如图 12． 对比系统( 1) 数 值模拟图像可以看出，两者具有较好的一致性． 混 沌电路的构建，对保密通信具有重要的应用价值． 5 结论 基于一元奇函数提出了一类新的四维四翼混沌 系统，对其一些基本的动力学行为进行了讨论和理 论分析． 通过数值模拟，讨论了参数的敏感性，以及 参数变化时系统相图对应的变化． 设计并实现了系 统的振荡电路，实验与数值模拟具有良好的一致性． 本文提出的四翼系统在信息安全和保密通信等领域 有着潜在的应用价值． 图 12 Multisim 电路仿真结果 Fig． 12 Ｒesults of circuit simulation by Multisim 参 考 文 献 ［1］ Lorenz E N． Deterministic nonperiodic flow． J Atmos Sci，1963， 20( 2) : 130 ［2］ Zhang C X，Yu S M． Generation of multi-wing chaotic attractor in fractional order system． Chaos Solitons Fractals，2011，44( 10) : 845 ［3］ Bao B C，Liu Z，Xu J P，et al． Generation of multi-scroll hyper￾chaotic attractor based on Colpitts oscillator model． Acta Phys Sin， 2010，59( 3) : 1540 ( 包伯成，刘中，许建平，等． 基于 Colpitts 振荡器模型生成的 多涡卷超混沌吸引子． 物理学报，2010，59( 3) : 1540) · 686 ·

第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 ·687· 4]Wu H G,Bao B C,Liu Z.Scroll number and distribution control ic attractors.Acta Phys Sin,2009,58 (12):8139 of attractor:system design and circuit realization.Acta Phys Sin, (胡国四.超混沌吸引子的翼倍增方案.物理学报，2009， 2011,60(9):090502 58(12):8139) (武花干，包伯成，刘中.吸引子涡卷数量与分布的控制：系 [12]Hu G S.A family of hyperchaotic systems with four-wing attract- 统设计及电路实现.物理学报，2011,60(9)：090502) os.Acta Phys Sin,2009,58(6):3734 5]Yu S M,Liu Q H,Qiu SS.Simulation investigation on multi- (胡国四.一类具有四翼吸引子的超混沌系统。物理学报， scroll chaotic and hyperchaotic attractors for four-dimensional sys- 2009,58(6):3734) tems.Acta Phys Sin,2003.52(1)25 [13]Wang JZ,Wang Z L,Wang S B.Design and implementation of (禹思敏，林清华，丘水生.四维系统中多涡卷混沌与超混沌 a four-wings hyperchaotic system.Commun Technol,2012, 吸引子的仿真研究.物理学报，2003,52(1)：25) 45(1):125 Ahmad W M.Generation and control of multi-scroll chaotic al- (王建中，王忠林，王树斌.一个四翼吸引子的超混沌系统 tractors in fractional order systems.Chaos Solitons Fractals,2005. 设计与实现.通信技术，2012,45(1)：125) 25(3):727 [14]Bouallegue K,Chaari A,Toumi A.Multi-scroll and multi-wing Ahmad W M.A simple multi-scroll hyperchaotic system.Chaos chaotic attractor generated with Julia process fractal.Chaos Soli- Solitons Fractals,2006,27 (5):1213 tons Fractals,2011,44(1)79 [8]Yalein M E.Multi-scroll and hypercube attractors from a general [15]Zhang Y H,Qi G Y,Liu W L,et al.Theoretical analysis and jerk circuit using Josephson junctions.Chaos Solitons Fractals, circuit implementation of a new four dimensional chaotic system 2007,34(5):1659 Acta Phys Sin,2006,55(7):3307 ]Deng B,Wang Z L,Hou C X,et al.Design and realization of a (张宇辉，齐国元，刘文良，等.一个新的四维混沌系统理论 four-wing chaotic system.J Univ Jinan Sci Technol,2010,24 分析与电路实现.物理学报，2006,55(7)：3307) (4):402 [16]Wang FZ,Qi G Y,Chen Z Q,et al.On a four-winged chaotic (邓斌，王忠林，侯承玺，等.一个四翼混沌系统的设计与实 attractor.Acta Phys Sin,2007,56(6):3137 现.济南大学学报：自然科学版，2010,24(4)：402) (王繁珍，齐国元，陈增强，等.一个四翼混沌吸引子.物理 [10]Grassi G,Severance F L.Miller D A.Multi-wing hyperchaotic 学报，2007,56(6)：3137) attractors from coupled Lorenz systems.Chaos Solitons Fractals, [7]Qi G Y,Chen G R,van Wyk M A,et al.A four-wing chaotic 2009,41(1):284 attractor generated from a new 3 quadratic autonomous system. [1]Hu G S.Scheme for doubling the number of wings in hyperchaot- Chaos Solitons Fractals,2008,38(3):705

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