第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 681· 系统进行了数值模拟，对其动力学行为进行了分析， 式中：a1>0,a2>0,a3>0,a4>0,a5>0,b1>0,b2> 讨论了其类型与四翼形状的关系，分析了混沌行为 0,b>0是参数：f(x)是单调可微的奇函数.通过对 的参数敏感性，并设计了一个相应的混沌电路 参数的调整，系统(1)有可能形成四翼混沌状态 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=2,b1=1, 1混沌系统动力学行为分析 b2=1,b3=1,(x)=x时，初值取(0.5，-0.5， 本文研究如下四维动力系统： -0.5,0.5),系统(1)在x-y,x-z平面呈现明显 [=ax-biyz-az, 的四翼混沌状态，见图L.此时该系统的Lyapunov y=baxz-a2y, 指数为LE,=0.8336,LE2=0.0759,LE3= (1) 2=b3xy-a3z+asw, -0.6923,LE,=-17.2020,具有正的Lyapunov指 数，显示系统(1)是混沌的. lio=f(x). xy平面图 x-:平面图 40 10 -10 -20 -20 -30 300-30-20-10010203040 4040-30-20-10010203040 图1f(x)=(x)时系统(1)的xy和x:平面相图 Fig.1 xy and x plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f(x) 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=0.008,b1= Lyapunov指数为LE1=0.3386,LE2=0.0119,LE3= 1,b2=1,b3=1,5(x)=x3时，初值取(1，-1，-1， -0.3191,LE,=-17.0315,验证了其混沌特性 1),系统(1)形成了如图2所示四翼状态。该系统的 当a1=4,a2=14,a3=7,a4=1,a5=1,b1=1, xy平面图 40 x:平面图 30 20 20 10 0 -10 -20 20 -3040-30-20-10010203040 4 -40-30-20-10010203040 图2f(x)=f方(x)时系统(1)的xy和x=平面相图 Fig.2 x-y and x-plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f (x)第 5 期 张晓丹等: 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 系统进行了数值模拟，对其动力学行为进行了分析， 讨论了其类型与四翼形状的关系，分析了混沌行为 的参数敏感性，并设计了一个相应的混沌电路． 1 混沌系统动力学行为分析 本文研究如下四维动力系统: x · = a1 x － b1 yz － a4 z， y · = b2 xz － a2 y， z · = b3 xy － a3 z + a5w， w · = f( x)        ． ( 1) 式中: a1 ＞ 0，a2 ＞ 0，a3 ＞ 0，a4 ＞ 0，a5 ＞ 0，b1 ＞ 0，b2 ＞ 0，b3 ＞ 0 是参数; f( x) 是单调可微的奇函数． 通过对 参数的调整，系统( 1) 有可能形成四翼混沌状态． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 2，b1 = 1， b2 = 1，b3 = 1，f1 ( x) = x 时，初值 取 ( 0. 5，－ 0. 5， － 0. 5，0. 5) '，系统( 1) 在 x － y，x － z 平面呈现明显 的四翼混沌状态，见图 1． 此时该系统的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 8336，LE2 = 0. 0759，LE3 = － 0. 6923，LE4 = － 17. 2020，具有正的 Lyapunov 指 数，显示系统( 1) 是混沌的． 图 1 f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 1 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f1 ( x) 图 2 f( x) = f2 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 2 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f2 ( x) 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 0. 008，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，f2 ( x) = x 3 时，初值取( 1，－ 1，－ 1， 1) '，系统( 1) 形成了如图 2 所示四翼状态． 该系统的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 3386，LE2 = 0. 0119，LE3 = － 0. 3191，LE4 = － 17. 0315，验证了其混沌特性． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 1，b1 = 1， · 186 ·