·682 北京科技大学学报 第36卷 b2=1,b3=1, 时，初值取(1,1,1,1)，系统(1)形成了如下的四翼 x≤-T/2, 混沌状态，如图3.此时该系统的Lyapunov指数为 5(x)s sinx -T/2<x≤m2, LE1=0.7066,LE2=-0.0935,LE3=-0.6246, x>T/2 LE4=-16.9504,表明系统呈现混沌状态. y平面图 x:平面图 30 20 20 10 0 -10 20 30 -40 4050-40-30-20-1001020304050 -5030-40-30-20-1001020304050 图3f(x)=f方(x)时系统(1)的xy和x:平面相图 Fig.3 xy and x plane phase diagrams of system (1)when f(x)=f (x) 1.1耗散性 入1=-a2 对于系统(1)有 -p-2ies(号） Tv=班+y+2+驰=a,-a,-a A2= 当a1-a2-a3<0时系统(1)是耗散的，并以指数形 -p+[cs(号)±5sim(号)] 式=e”收敛，当一时初始体积元将收 入34= 3 敛到0，说明了吸引子的存在性 ,0=arcc0s(2当a1=4,a2=14, 1.2平衡点分析 7,a4=1,a5=2,b1=1,b2=1,b3=1,f(x）=x时， 因为f(x)在R上是单调可微奇函数，因此当 △=-274548.系统(1)在平衡点S(0,0,0,0)的特 f(x)=0时，有x=0.所以系统(1)只有唯一一个零 征值入1=-14，入2=3.9538，入3=0.0720，入4= 平衡点S(0,0,0,0).在S处系统(1)的雅克比矩阵 -7.0258,即该平衡点是系统指标为2的鞍点.当4 为 >0时，式(3)有两个实根和一对共轭复根，即 a 0 -a401 入1=-a2, 0 -a2 0 0 J= 0 -a3a5 =p-江-盗 3 0 00J 式中，d=f(0).J的特征方程为 A4p+沉+酒：江：还 6 6 F(A)=(+a,)3+(-a1+a3)A2- a1a3入+a4a5d]. (2) 式中，出=加+2(-B士0.当-2印+沉+ 令p=-a1+a3q=-aa3,k=a4asd,则式(2)为 万>0时，平衡点为鞍焦点.本文取a1=4,a2= F(A)=(A+a2)(A3+PM2+qA+k).(3) 14,a3=6.9,a4=13.1,a5=2,b1=1,b2=1,b3=1, 设A=p2-3q,B=p9-9k,C=g2-3k,4=B2- f(x)=x,此时4=34952>0，系统(1)在平衡点 4AC,根据盛金公式，当△<0时，式(3)有四个不相 S(0,0,0,0)的特征值为入1=-14，入2=-7.3691， 等的实根 A3=2.2345-0.5830i,入4=2.2345+0.5830i,A1·北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 b2 = 1，b3 = 1， f3 ( x) = － 1 x≤ － π/2， sinx － π/2 ＜ x≤π/2， 1 x ＞ π/ { 2 时，初值取( 1，1，1，1) '，系统( 1) 形成了如下的四翼 混沌状态，如图 3． 此时该系统的 Lyapunov 指数为 LE1 = 0. 7066，LE2 = － 0. 0935，LE3 = － 0. 6246， LE4 = － 16. 9504，表明系统呈现混沌状态． 图 3 f( x) = f3 ( x) 时系统( 1) 的 x-y 和 x-z 平面相图 Fig． 3 x-y and x-z plane phase diagrams of system ( 1) when f( x) = f3 ( x) 1. 1 耗散性 对于系统( 1) 有 Δ V = x · x + y · y + z · z + w · w = a1 － a2 － a3 ． 当 a1 － a2 － a3 ＜ 0 时系统( 1) 是耗散的，并以指数形 式dV dt = e( a1 － a2 － a3) t 收敛，当 t→∞ 时初始体积元将收 敛到 0，说明了吸引子的存在性． 1. 2 平衡点分析 因为 f( x) 在 Ｒ 上是单调可微奇函数，因此当 f( x) = 0时，有 x = 0． 所以系统( 1) 只有唯一一个零 平衡点 S( 0，0，0，0) ． 在 S 处系统( 1) 的雅克比矩阵 为 J = a1 0 － a4 0 0 － a2 0 0 0 0 － a3 a5 d            0 0 0  ． 式中，d = f'( 0) ． J 的特征方程为 F( λ) = ( λ + a2) ［λ3 + ( － a1 + a3 ) λ2 － a1 a3λ + a4 a5 d］． ( 2) 令 p = － a1 + a3，q = － a1 a3，k = a4 a5 d，则式( 2) 为 F( λ) = ( λ + a2 ) ( λ3 + pλ2 + qλ + k) ． ( 3) 设 A = p 2 － 3q，B = pq － 9k，C = q 2 － 3pk，Δ = B2 － 4AC，根据盛金公式，当 Δ ＜ 0 时，式( 3) 有四个不相 等的实根． λ1 = － a2， λ2 = － p － 2 槡A ( cos θ ) 3 3 ， λ3，4 = － p + 槡A [ ( cos θ ) 3 ± 3sin 槡 ( θ ) ] 3 3 ． 式中，θ = arccos ( 2Ap － 3B 2 3 槡A ) 2 ． 当 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 7，a4 = 1，a5 = 2，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1，f( x) = x 时， Δ = － 274548． 系统( 1) 在平衡点 S( 0，0，0，0) '的特 征值 λ1 = － 14，λ2 = 3. 9538，λ3 = 0. 0720，λ4 = － 7. 0258，即该平衡点是系统指标为 2 的鞍点． 当 Δ ＞ 0 时，式( 3) 有两个实根和一对共轭复根，即 λ1 = － a2， λ2 = － p － 3 槡Y1 － 3 槡Y2 3 ， λ3，4 = － 2p + 3 槡Y1 + 3 槡Y2 6 ± i 3 槡Y1 － 3 槡Y2 6 槡3． 式中，Y1，Y2 = Ap + 3 2 ( － B ± 槡Δ) ． 当 － 2p + 3 槡Y1 + 3 槡Y2 ＞ 0 时，平衡点为鞍焦点． 本文取 a1 = 4，a2 = 14，a3 = 6. 9，a4 = 13. 1，a5 = 2，b1 = 1，b2 = 1，b3 = 1， f( x) = x，此时 Δ = 34952 ＞ 0，系 统 ( 1 ) 在 平 衡 点 S( 0，0，0，0) '的特征值为 λ1 = － 14，λ2 = － 7. 3691， λ3 = 2. 2345 － 0. 5830i，λ4 = 2. 2345 + 0. 5830i，λ1· · 286 ·