第5期 张晓丹等：基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 ·683· Re(A3,a)<0,A2Re(A3,A4)<0,即平衡点是系 于y轴的两边；x-z平面上，四翼也两两一组，分别 统指标为2的鞍焦点.此时我们发现系统仍然能产 位于x轴两边.此时的Lyapunov指数为LE,= 生四翼，但是位置上发生了很大的变化.如图4，x- 0.2841,LE2=-0.0412,LE3=-0.6204,LE4= y平面上，四翼两两一组，沿x轴方向排列，分别位 -16.4526,表明系统呈现混沌状态. )平面图 纯 :平面图 20 2 0 0 50 40-30-20-10010203040 -6040-30-20-10010203040 图4a4=13.1,f(x)=f(x)时系统(1)的xy,x平面相图 Fig.4 x-y,x plane phase diagrams of system (1)when aa =13.I and f(x)=f (x) 综上分析，当f(x)是单调可微奇函数且平衡点 吃 S(0,0,0,0)‘是指标为2的鞍点或鞍焦点时，系统 40 (1)有可能形成四翼混沌. 20 2系统参数灵敏性分析 103 0 在数值模拟中，我们发现线性项系数a4对系统 -10 的相图影响较大.取f(x)=x,令a1=4,a2=14, 20 a3=7,a5=3,让a4在，40]上变化，得到Lyapunov -30 指数(Lyapunov exponent,LE)谱图如图5，以及状态 -40 -50 变量y随着a,变化的分岔图如图6. 10152025303540 LE 图6状态变量y随a4变化的分岔图 -2 Fig.6 Bifurcation diagram of state variable y changing with a -4 -6 (1)的Lyapunov指数为(0，-，-，-)的情形，表明 4-8 此时系统为周期状态；当a4∈5.5,13.5]，系统(1) -10 的Lyapunov指数为(+，0，-，-)的情形，表明此时 -12 -14 系统又进入混沌状态；当a4∈3.5,40]时，系统 -16 (1)的Lyapunov指数再次变成(O,-,-,-)的情 -18 0 510152025303540 形，则系统呈现周期状态.图6所得的分岔情况也 与图5相对应. 图5 Lyapunov指数谱图 当a4=3,5.3,13,21时的系统相图如图7所 Fig.5 Spectra of Lyapunov exponents 示，可以明显地看出当a4=3∈0,4.7]和a4=13∈ 从图5中可以看出：当a4∈1,4.7]时，系统 5.5,13.5]时，系统(1)呈现混沌状态，如图7(a) (1)的Lyapunov指数为(+，0，-，-)的情形，表明 和7(c).当a4=5.3∈[4.7,5.5]和a4=21∈ 此时系统为混沌状态；当a4∈4.7,5.5]时，系统 13.5,40]时，系统(1)呈现周期状态，如图7(b)和第 5 期 张晓丹等: 基于奇函数的一类四维四翼混沌系统设计与电路实现 Ｒe( λ3，λ4 ) ＜ 0，λ2 ·Ｒe( λ3，λ4 ) ＜ 0，即平衡点是系 统指标为 2 的鞍焦点． 此时我们发现系统仍然能产 生四翼，但是位置上发生了很大的变化． 如图 4，x － y 平面上，四翼两两一组，沿 x 轴方向排列，分别位 于 y 轴的两边; x － z 平面上，四翼也两两一组，分别 位于 x 轴 两 边． 此 时 的 Lyapunov 指 数 为 LE1 = 0. 2841，LE2 = － 0. 0412，LE3 = － 0. 6204，LE4 = － 16. 4526，表明系统呈现混沌状态． 图 4 a4 = 13. 1，f( x) = f1 ( x) 时系统( 1) 的 x-y，x-z 平面相图 Fig． 4 x-y，x-z plane phase diagrams of system ( 1) when a4 = 13. 1 and f( x) = f1 ( x) 综上分析，当 f( x) 是单调可微奇函数且平衡点 S( 0，0，0，0) '是指标为 2 的鞍点或鞍焦点时，系统 ( 1) 有可能形成四翼混沌． 2 系统参数灵敏性分析 在数值模拟中，我们发现线性项系数 a4 对系统 的相图影响较大． 取 f( x) = x，令 a1 = 4，a2 = 14， a3 = 7，a5 = 3，让 a4 在［1，40］上变化，得到Lyapunov 指数( Lyapunov exponent，LE) 谱图如图 5，以及状态 变量 y 随着 a4 变化的分岔图如图 6． 图 5 Lyapunov 指数谱图 Fig． 5 Spectra of Lyapunov exponents 从图 5 中可以看出: 当 a4 ∈［1，4. 7］时，系统 ( 1) 的 Lyapunov 指数为( + ，0，－ ，－ ) 的情形，表明 此时系统为混沌状态; 当 a4 ∈［4. 7，5. 5］时，系统 图 6 状态变量 y 随 a4变化的分岔图 Fig． 6 Bifurcation diagram of state variable y changing with a4 ( 1) 的 Lyapunov 指数为( 0，－ ，－ ，－ ) 的情形，表明 此时系统为周期状态; 当 a4∈［5. 5，13. 5］，系统( 1) 的 Lyapunov 指数为( + ，0，－ ，－ ) 的情形，表明此时 系统又进入混沌状态; 当 a4 ∈［13. 5，40］时，系统 ( 1) 的 Lyapunov 指数再次变成( 0，－ ，－ ，－ ) 的情 形，则系统呈现周期状态． 图 6 所得的分岔情况也 与图 5 相对应． 当 a4 = 3，5. 3，13，21 时的系统相图如图 7 所 示，可以明显地看出当 a4 = 3∈［1，4. 7］和 a4 = 13∈ ［5. 5，13. 5］时，系统( 1) 呈现混沌状态，如图 7( a) 和 7 ( c) ． 当 a4 = 5. 3 ∈［4. 7，5. 5］和 a4 = 21 ∈ ［13. 5，40］时，系统( 1) 呈现周期状态，如图 7( b) 和 · 386 ·