曲面形态连续介质有限变形理论一变形梯度及其基本性质 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月21日 1知识要素 11变形梯度的可微性定义 与一般情形一致,变形梯度可以理解为初始物理构型中有向线元同当前物理构型中有向线 元之间的线性变换;按微分学可做如下分析 0∑ ∑(x+△Es,t)-∑(Ex,t) (Ee, t) (y,t)g;(cx,t)△s 1(x,)8G(s)·[△sca() (s19:8(x)小·[(+△)-() 此处 F=o4(Es, t)gi(as, t)(sE9(R). 称为介质形态为曲面的连续介质有限变形运动的变形梯度,或简称为“曲面变形梯度 曲面有限变形理论,只有任意张量场沿着曲面上某一曲线的变化率,就此可定义“相对于 Euler坐标的全梯度”,如对更,可有 (xx,t)⑧ 1.2基础性引理 为研究曲面变形梯度的基本性质,需要以下引理. 引理1.1(变形关系行列式物质导数) asy)(S2, t)=bx(aE, t)det/ax> ①如不引起混淆,也可简称为变形梯度有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 变形梯度的可微性定义 与一般情形一致, 变形梯度可以理解为初始物理构型中有向线元同当前物理构型中有向线 元之间的线性变换; 按微分学可做如下分析: Σ(ξΣ + ∆ξΣ, t) − Σ(ξΣ, t) = ∂Σ ∂xi Σ (xΣ, t) ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)∆ξ A Σ = ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t)∆ξ A Σ = [ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(xΣ) ] · [ ∆ξ B ΣGB(xΣ) ] .= [ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(xΣ) ] · [ ◦ Σ(ξΣ + ∆ξΣ) − ◦ Σ(ξΣ) ] , 此处 F , ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(xΣ) ∈ T 2 (R 3 ), 称为介质形态为曲面的连续介质有限变形运动的变形梯度, 或简称为 “曲面变形梯度” ➀. 就曲面有限变形理论, 只有任意张量场沿着曲面上某一曲线的变化率, 就此可定义 “相对于 Euler 坐标的全梯度”, 如对 Φ, 可有 Φ ⊗ Σ , ∂Φ ∂xs Σ (xΣ, t) ⊗ g s . 1.2 基础性引理 为研究曲面变形梯度的基本性质, 需要以下引理. 引理 1.1 (变形关系行列式物质导数). ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). ➀ 如不引起混淆, 也可简称为变形梯度. 1