曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 证明基于置换算子,相关方阵行列式可表示如下 )(sx, d(1) a∈P asa(m)/(5x 由此,可有 (Es, t) arm sino +…+ac() (Es, t) a∈Pm ∑ (Es, t) ””吗k0 (Es, t) dxm (Es, t) i=1d∈Pm (x1)(ax,) (xx,t)∑sgno axl dxs arm (m(x) 在上式中,对a求和的结果为行列式,故只有当s=i时此行列式才非零,否则此行列式将有两 行相同而自然为零,所以有 (Es, t) t)∑sgn 0i; (Es, t) 13变形梯度的基本性质 性质1.2(变形梯度基本性质).变形梯度具有如下基本性质,不仅适用于二维曲面理论而且 适用于高维曲面理论 d"=(v8.F,此处百gO ar(2,) 2.detF=6detF,此处全V 曲面变形梯度的行列式定义为 det F (Es, t) 证明高维曲面理论的构型构造如图1所示,以下按高维情形进行证明.有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 证明 基于置换算子, 相关方阵行列式可表示如下: det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). 由此, 可有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑ σ∈Pm sgnσ   ˙ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ ∂x2 Σ ∂ξσ(2) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ + · · · + ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xm−1 Σ ∂ξσ(m−1) Σ ˙ ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ   (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ   ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ˙ ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ   (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂x˙ i Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ (ξΣ, t)· · · ( ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ (ξΣ, t) ) · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ (ξΣ, t) ] = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xs Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t). 在上式中, 对 σ 求和的结果为行列式, 故只有当 s = i 时此行列式才非零, 否则此行列式将有两 行相同而自然为零, 所以有 ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = ∑m i=1 ∂x˙ i Σ ∂xi Σ (xΣ, t) ∑ σ∈Pm sgnσ [ ∂x1 Σ ∂ξσ(1) Σ · · · ∂xi Σ ∂ξσ(i) Σ · · · ∂xm Σ ∂ξσ(m) Σ ] (ξΣ, t) = ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 1.3 变形梯度的基本性质 性质 1.2 (变形梯度基本性质). 变形梯度具有如下基本性质, 不仅适用于二维曲面理论而且 适用于高维曲面理论. 1. d dt F = (V ⊗ Σ ) · F, 此处 Σ , g s ∂ ∂xs Σ (xΣ, t); 2. d dt detF = θ detF, 此处 θ , V · Σ = Σ · V . 曲面变形梯度的行列式定义为 detF , √gΣ √ GΣ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 证明 高维曲面理论的构型构造如图1所示, 以下按高维情形进行证明. 2