曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 s={s}1 Ts=TE(Es.t) ∑(xs,t) ck=rshm Figure1:高维曲面理论构型构造示意 1.计算曲面变形梯度的物质导数,有 F=(Ex,t)g1x,1)8G1() aSA SE,L)(as,t)oGA 此处 91(x4=D(a,1)+这时g,=、 者(xt)=A(xt)=:(x,t ,t), arsas ag (as, t)+is O(2,t) 由此,有 Or「aiy asa ldr (aE, t)9;eGA 0∑ ∝)(rs,8G+则(x,1)8G axE(Er, tG Lars( at an(,1+ 00∑ 「ar a(am+g9)(.)8」[a(x18 性质(1)的证明类比于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论中变形 梯度相关性质的证明,此处不再重复 2.计算曲面变形梯度的行列式的物质导数,有 F √⑨Σ(cx,t) Gs(Ee, t)i(as (Es, t) GeogE(s, t)det (Se, t)+odet (Se, t) ①本章将“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”简称为“显含时间有限变形理论”有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 O X1 Xm Xm+1 ◦ V Σ t V Σ Σ(xΣ, t0) Σ(xΣ, t) O x 1 Σ xm−1 Σ xm Σ DΣ ◦ V xΣ ξΣ = {ξA Σ}m A=1 t V Σ xΣ = {x i Σ}m i=1 xΣ = xΣ(ξΣ, t) Figure 1: 高维曲面理论构型构造示意 1. 计算曲面变形梯度的物质导数, 有 F˙ = ˙ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi (xΣ, t) ⊗ GA(ξ) = ˙ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t)gi ⊗ G A + ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) ˙ gi (xΣ, t) ⊗ GA, 此处 ˙ ∂xi Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) = ∂ 2x i Σ ∂ξA Σ ∂t (ξΣ, t) =: ∂x˙ i Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) = ∂xs Σ ∂ξA Σ (ξΣ, t) ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t), ˙ gi (xΣ, t) = ∂gi ∂t (xΣ, t) + ˙x s Σ ∂gi ∂xs Σ (xΣ, t) = ∂ ∂xi Σ ( ∂Σ ∂t ) (xΣ, t) + ˙x s Σ ∂gs ∂xi Σ (xΣ, t). 由此, 有 F˙ = ∂xs Σ ∂ξA [ ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t)gi ⊗ GA + ∂ ∂xs Σ ( ∂Σ ∂t ) (xΣ, t) ⊗ GA + ˙x i Σ ∂gi ∂xs Σ (xΣ, t) ⊗ GA ] = [ ∂ ∂xs Σ ( ∂Σ ∂t ) (xΣ, t) + ∂x˙ i Σ ∂xs Σ (xΣ, t)gi + ˙x i Σ ∂gi ∂xs Σ (xΣ, t) ] ⊗ [ ∂xs Σ ∂ξA (ξΣ, t)GA ] = [ ∂ ∂xs Σ ( ∂Σ ∂t + ˙x i Σgi ) (xΣ, t) ⊗ g s ] · [ ∂xl Σ ∂ξA (ξΣ, t)gl ⊗ GA ] = ( V ⊗ Σ ) · F. 性质 (1) 的证明类比于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论➀ 中变形 梯度相关性质的证明, 此处不再重复. 2. 计算曲面变形梯度的行列式的物质导数, 有 ˙ |F| = √ ˙ gΣ(xΣ, t) √ GΣ(ξΣ, t)i det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = 1 √ GΣ √ ˙ gΣ(xΣ, t) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) + √gΣ √ GΣ ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t), ➀ 本章将“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”简称为“显含时间有限变形理论”. 3