曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 此处 √⑨(xE,t)= 1a√9 (as, t)+is 1a√9s 上述推导中利用了基本关系式 并由引理1.1,可有 =(((+(3+=F[as0+ 另一方面,速度的梯度可计算如下 xx,t)·g 0/0∑ a.\ at 9。)(xx,t) =9.(x,)+V,=9“g9k·(mx,1)+V,的 119,+V÷1109(x,+V 2 at 1V02(x,1)+, 上述推导中利用了基本关系式 1 de 综上,有 F|=6F 对二维曲面理论,面积单元√9={91,g2nlk的物质导数亦可处理如下 1,92,2R t)过+(xx,t) at 92 +91 aaf(ag, t)=z+ ot(zr, t),nl +g1,g2,m。(xx,t)+(x,t) =的+99,ml=V(+1、、) 值得指出,本节所述曲面度量行列式的引理以及曲面变形梯度的基本性质适用于几何形态 为任意有限维曲面的连续介质.由此,相关结果可作为二维曲面有限变形理论的推广有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 此处 √ ˙ gΣ(xΣ, t) = ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + x˙s Σ ∂ √gΣ ∂xs Σ (xΣ, t) = √ gΣ [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ˙x s Σ 1 √gΣ ∂ √g ∂xs Σ (xΣ, t) ] = √ gΣ [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + Γ i isx˙ s Σ ] . 上述推导中利用了基本关系式 Γ i is = 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂xs Σ (xΣ); 并由引理1.1, 可有 ˙ |F| = |F| · [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) + Γ s slx˙ l Σ ] = |F| · [ 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ ] . 另一方面, 速度的梯度可计算如下: V · Σ = ∂V ∂xl Σ (xΣ, t) · g l = ∂ ∂xl Σ ( ∂Σ ∂t + ˙x s Σgs ) (xΣ, t) · g l = g l · ∂gl ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = g lkgk · ∂gl ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = 1 2 g lk ∂glk ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = 1 2 1 gΣ ∂gΣ ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ = 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) + ∇sx˙ s Σ. 上述推导中利用了基本关系式 1 gΣ ∂gΣ ∂xl Σ (xΣ, t) = g ij ∂gij ∂xl Σ (xΣ, t), 1 gΣ ∂gΣ ∂t (xΣ, t) = g ij ∂gij ∂t (xΣ, t). 综上, 有 ˙ |F| = θ|F|, θ = V · Σ . 对二维曲面理论, 面积单元 √gΣ = [g1 , g2 , n]R3 的物质导数亦可处理如下. d dt √ gΣ = d dt [g1 , g2 , n]R3 = [ ∂g1 ∂xs Σ (xΣ, t) ˙x s Σ + ∂g1 ∂t (xΣ, t), g2 , n ] R3 + [ g1 , ∂g2 ∂xs Σ (xΣ, t) ˙x s Σ + ∂g2 ∂t (xΣ, t), n ] R3 + [ g1 , g2 , ∂n ∂xs Σ (xΣ, t) ˙x s Σ + ∂n ∂t (xΣ, t) ] R3 = Γ l slx˙ s Σ √ gΣ + ∂ ∂t [g1 , g2 , n]R3 = √ gΣ ( Γ l lsx˙ s Σ + 1 √gΣ ∂ √gΣ ∂t (xΣ, t) ) R3 . 值得指出, 本节所述曲面度量行列式的引理以及曲面变形梯度的基本性质适用于几何形态 为任意有限维曲面的连续介质. 由此, 相关结果可作为二维曲面有限变形理论的推广. 4