曲面形态连续介质有限变形理论-变形梯度及其基本性质 谢锡麟 应用事例 Aris(1962)在其著作 Vectors, Tensors and the Basic equations of Fluid mechanics中,研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程.值得指出,在Aris的书著中,利用了如下关系 (x,t)+1 ar (Es, t) (Es, t) (Es, t) 现指出,此式有误.由于上述不正确的关系式,Aris所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著(10.129)式,为 人=+(+2)n 实际上,笔者认为正确的关系式为 d do dt +o(c)+2)如=使+啊 上述最后等式的获得利用了如下关系式 9_10g 2g raaf(ar)z gazi (aevi=rv Aris(1962)研究了任意固定曲面上二维流动.谢锡麟、陈瑜、史倩(20132提出的曲面有 限变形理论既适用于固定曲面上二维流动,也适用与自身可作有限变形运动的曲面上二维流动 进一步,谢锡麟(2013)③提出固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架 3建立路径 变形梯度可以本质性地理解为当前物理构型与初始物理构型间的有向线元之间的可微性意 义下的关系,或者理解为物理空间中变形刻画向量值映照的“导数” 变形梯度的基本性质决定了变形刻画关系式的建立 值得指出,曲面形态连续介质变形梯度的基本性质由“曲面上梯度算子”表征,而体积形态 连续介质变形梯度的基本性质由“全空间上梯度算子”表征 O Aris R. Vectors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall, 1962. @2 Xie X L, Chen Y, Shi Q. Some Studies on Mechanics of Continuous Mediums Viewed as Differential Mani- folds. Sci. China-Phys. Mech. Astron, 2013, 56(2),432-456 3 Xie X L. A Theoretical Framework of Vorticity Dynamics for Two Dimensional Flows on Fixed Smooth Surfaces. Physics. Flu-Dym, 2013, ar Xiv: 1304.5145vl.(original manuscript)有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 谢锡麟 2 应用事例 Aris(1962) 在其著作 Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics 中, 研 究了任意固定曲面上二维流动的守恒律控制方程. 值得指出, 在 Aris 的书著中, 利用了如下关系 式: ˙ det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = [ ∂x˙ s Σ ∂xs Σ (xΣ, t) + Γ s sjx˙ j Σ ] det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t) = (∇sx˙ s Σ) det ( ∂xi Σ ∂ξA Σ ) (ξΣ, t). 现指出, 此式有误. 由于上述不正确的关系式, Aris 所获得的固定曲面上二维流动的输运方程见 其书著 (10.12.9) 式, 为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∇sV s + g˙ 2g )] dσ, V s := ˙x s Σ. 实际上, 笔者认为正确的关系式为 d dt ∫ t Σ Φdσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ ( ∂V s ∂xs Σ (xΣ, t) + g˙ 2g )] dσ = ∫ t Σ [ Φ˙ + Φ∇sV s ] dσ. 上述最后等式的获得利用了如下关系式: g˙ 2g = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ) ˙x i = 1 2g ∂g ∂xi Σ (xΣ)V i = Γ s siV i . Aris(1962) 研究了任意固定曲面上二维流动➀. 谢锡麟、陈瑜、史倩 (2013)➁提出的曲面有 限变形理论既适用于固定曲面上二维流动, 也适用与自身可作有限变形运动的曲面上二维流动. 进一步, 谢锡麟 (2013)➂ 提出固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架. 3 建立路径 • 变形梯度可以本质性地理解为当前物理构型与初始物理构型间的有向线元之间的可微性意 义下的关系, 或者理解为物理空间中变形刻画向量值映照的 “导数”. • 变形梯度的基本性质决定了变形刻画关系式的建立. • 值得指出, 曲面形态连续介质变形梯度的基本性质由 “曲面上梯度算子” 表征, 而体积形态 连续介质变形梯度的基本性质由 “全空间上梯度算子” 表征. ➀ Aris R. Vectors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall, 1962. ➁ Xie X.L., Chen Y., Shi Q. Some Studies on Mechanics of Continuous Mediums Viewed as Differential Mani￾folds. Sci. China-Phys. Mech. Astron., 2013, 56(2), 432-456. ➂ Xie X L. A Theoretical Framework of Vorticity Dynamics for Two Dimensional Flows on Fixed Smooth Surfaces. Physics.Flu-Dyn, 2013, arXiv:1304.5145v1. (original manuscript) 5