§132杆的纵振动方程 第4页 313.2杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况 (即位移)完全相同 ★如图13.2,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的 各截面均用它的平衡位置x标记 Purrs Ar+dN 在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t) ★在杆中隔离出一小段(x,x+dx),分析受力 通过截面x,受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用 图13.2杆的纵振动应力与应变 P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正 因此,根据 Newton第二定律,就得到 t)-P(x,切) 若杆的密度为p,则dm=pdx:S, au oP 如果略去垂直杆长方向的形变,根据Hoke 应力P与应变u/Ox成正比pO 比例系数E称为杆的 Young模量,它是一个物质常数.这样,就得到了杆的纵振动方程 0x2 0, 其中 P 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同,但它们满足的偏微分方程的形式却完全一样 这一类方程统称为波动方程 更一般地,在三维空间中的波动方程是 2u V2a=0 其中V=m+a+a称为Lp算,Wu Chong-shi §13.2 ⑩❼❶❾❿✟✠ ✌ 4 ✍ §13.2 ❷➁❸➃➄➅➆ ❹❺➈➏➐❻❼✧➒❼❽➟❾➩➫➭➯❉❿➀➥➁→❼❽➟❾➎➂➈➃➧➨✽✾➎➭➯➄➅ (➆➇➈) ➊➋❁➦❉ F r➉ 13.2 ✧➺➊Ø❍ Ó ➶ x ➹ ❍ Ó ✧➋➌à➊Ø❍ Ó ➼ ➍➎④➏óã➼➽➾➚➪ x ➱➐❉ F Ï➑❰ ÐÑ t ✧✌➎④➒➓à➽➾➚➪➼➚Ô➶ u(x, t) ❉ F Ï➊ ❄ÕÖ×❰ÙÚ (x, x + dx) ✧çèéêë • ➔→➎④ x ✧éð➣↔ê P(x, t)S ➼òó • ➔→➎④ x + dx éð➣↔ê P(x + dx, t)S ➼òó P(x, t) ➶ ❈ ➚④↕✇é➼➣↔ê (➙ ê ) ✧➛ x ❍ Ó ➶t❉ ô 13.2 ➜ö➝øù ➞➟➠➞➡ ☞✌✧➢➤ Newton ➥ ✱❊➦✧✴➧ð dm ∂ 2u ∂t2 = [P(x + dx, t) − P(x, t)] S. ➨➊➼❆❇➶ ρ ✧● dm = ρ dx · S ✧ ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂P ∂x . rs✫✬➋➌➊Ø❍ Ó ➼➩➫✧➢➤ Hooke ❊➦✧ ➙ ê P ✃➙ ➫ ∂u/∂x åt ➭ P = E ∂u ∂x, ➭➯➲➳ E ➵ ➶➊➼ Young ➸❉✧ã❒ ❰í➺ æ➻ ➳❉✲✳✧✴➧ð✭ ➊➼➼✦✧❍■ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ a = s E ρ . ➊➼➼✦✧✃ ➻➼Ò ✦✧➽➾➚➪➶➹➒➘✧➴ã➷➬Ü➼➮➱ç❍■➼➩✃❐➶➹❰✳❉ ✲❰❒❍■❮➵ ➶ ❰➯➟➸ ❉ Ï❰ÐÑ✧Ï✮ÒÓÔ ❄➼Õ✧❍■❒ ∂ 2u ∂t2 − a 2∇ 2u = 0, ❃ ❄ ∇2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ➵ ➶ Laplace Ö×✧ ∇ 2 = ∇ · ∇ ✵ ∇ 2u = ∇ · (∇u)