第十三讲数学物理方程:数学建模 第5页 813.3热传导方程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同.不同之处在于具体的物理规律不 这里用到的是热学方面的两个基本规律,即 能量守恒定律和热传导的 Fourier定律 热传导的 Fourier定律设有一块连续介质.取定一定坐标系,并用u(x,v,2,t)表示介质内 空间坐标为(x,y,2)的一点在t时刻的温度.若沿x方向有一定的温度差,在x方向也就一定有热 量的传递.从宏观上看,单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比 称为热流密度,k称为导热率 k与介质的质料有关,而且,严格说来,与温度u也有关亲,但如果湿度的变化范围不 大,则可以近似地将k看成与u无关 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反,即热量由高温流向低温 研究三维各向同性介质中的热传导,在介质中三个方向上都存在温度差,则有 4=-ka,9=-,%=-B 即热流密度矢量q与温度梯度ⅴu成正比 根据 Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程. 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图133),六个面都和坐标面重合Wu Chong-shi ￾✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 5 ✍ §13.3 Ø Ù Ú ➅ ➆ Û❚ ❙ P❚✥✦✸☎ ✻✜ ✢✥❺❈Ü ❥✻ ÝÞ✛ ✞❉❞ ✞✙ß❘àáâ✻✣✤❥❦❞ ✞❉♦ã ☎ ÿ✻r ❙✢✥ ❥✻ ✑ ✢ ❤✐❥❦✧✥ äåæçèé ❈ êëì➎ Fourier èé ❉ êëì➎ Fourier èé ❐✍❰íîïðæ ❉➺❊❰❊➮➱➲✧➚ó u(x, y, z, t) ñòð æ ó ÓÔ➮➱➶ (x, y, z) ➼❰➬Ï t ÐÑ➼ô❇❉➨➛ x ❍ Ó ✍❰❊➼ô❇õ✧Ï x ❍ Óö ✴❰❊✍÷ ❉ ➼❑ø❉ùúû❮ä✧ ü ➇ýþÿ￾✁➁→ x ➟❾➎ü ➇ ➧✂➎êå q ❲✄☎➎✆ þ✺✻✝✞ ✟✠ ✧ ✵ q = −k ∂u ∂x, q ➵ ➶÷✡❆❇✧ k ➵ ➶⑥÷☛❉ k ❄ ❬❭✻ ❭☞ ✿ ❆✧✆✌✧✍✎✏✑✧❄✒❝ u ✓✔ ✕✖✗✘✙✚✒✛✜✢✣ ✤✥✦ ✧★✩✪ ✫✬✭✮✯ k ✰✱✲ u ✳ ✕✗ ✴✵✶✷ ✸✹ ✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆❇❀❁❂❈❉❊❋★●✾❍■❏❄✿❂❑❄✗ ▲▼◆❖P ◗❘❙❚❯ ✸✹❱❲❳★❨❚❯ ✸◆❩❬ ◗✴❭❪❨❫❴❵★❛❜ qx = −k ∂u ∂x, qy = −k ∂u ∂y , qz = −k ∂u ∂z , ❝ q = −k∇u, ❞❱❡❢❴❣❤ q ✐❫❴❥❴ ∇u ❦❧ ♠✗ ♥♦ Fourier ♣qrs❤t✉♣q✈❳✇①P ◗❘❙❚❯ ✸✹❱❲❳❬②✗ ❨❚❯ ③④⑤⑥⑦⑧❩⑨⑩❶✵❷ (❸❹ 13.3) ★❶❩✵❭r❺❻✵❼❽✗