工 程力学 29 问题的广义解。Yu和Qn研究了压电材料热 6=()+E列 (2) 力-电多场耦合下的断裂行为。Lu等2研究了三维 热压电材料均匀热流作用下的椭圆孔问颗。Shan 式中 等u用势函数与Hankel变换研究了压电材料轴对 M=-ikn /k2:=ikkz (3) 称裂纹问题的热应力。另外，Qm还研究了含多 s=ku/kz,=+x 4) 个孔的热压电材料的力学响应。己有的研究工 1是单位虚数。由式(2)知， 中，涉及到多种边界条件。通常，是将裂纹或椭圆 孔处理成热的，即没有任何热流穿过裂纹面。实 O,={'(e)+E】 际上，可以有部分热流穿过裂纹表面。为此，在文 s-g O,= [(e)-(e】 (5 献15]研究各向同性情况的基础上 本文进 究含有中心裂纹的正交各向异性板，在远场均匀热 现考虑裂纹表面维持一恒定温度不变的情况， 流作用下，在两种不同的裂纹表面温度边界条件 即在裂纹的上、下表面维持恒定的温差。 下，温度场的分布问题。有了这一解析结果，即可 ⊙=⊙=回。在L上 (6) 步分析压电材料多场耦合情况下的断裂行为。 符号L表示裂纹线，即=0与-a≤≤a。“+” 1裂纹表面维持恒定温度的情况 与“ 分别表示裂纹的上、下表面。式(6)等价于 ⊙=⊙=0在L上 (7) 考虑一正交各向异性无限大板中 含有一个长 由式（⑤）、式(7)可得出 度为2a的裂纹。无穷远处沿两个坐标轴方向，有 ['(t)+o(t)+「'(t)+6(t)r=0 均匀热流作用。热流向量大小与温度梯度大小成正 (8) ['(u)-u)-'0-p0=0 比，方向相反。无穷远处两个坐标轴方向的温度梯 度分别用与5表示，如图1所示 式中1为一实变量，表示复变量：在裂纹面上的取 值 -a≤tsa。 至此，将问题化为标准的Hilber BT1F1F1171011117112 题，解可写成 ()=- Cn C 22 -「，()= +cg+「(9例 比较式9冲的两式知，系数C与G是实帝数而系 数「是纯虚数。再利用无穷远处的温度梯度边界条 。。 件，可知 9=,r= (10 对于无内热源的热传导问题，要求对任一闭合曲 线C的线积分Pc(ed址=0。这一条件对应于流 图1分析模型示意图 入闭合曲线C的热量与流出的热量相等。由此条 Fig l Analytical model for the problem 件得出：c=0」 取两个坐标轴分别为导热系数的主轴，则温度 对式(9)中第1式积分，并利用式(6最后，得 场控制微分方程是山 到温度场的解析解是 ,02 *, 20 () e)=8V2-a2-i21k,a5:+A,1I) 式中：与如分别是沿、2方向的热传导系数。 6=W-a+-a) 9,有 设 T是当前温度 T。是参考温度。 (12) 二个特征根山与？。式(1)的通解是 注意，温度梯度场具有r的奇异性，而温度场没 有奇异性，即温度在裂纹尖端为有限值。 1994-2015Chin Jou al Eleetronic Publishi ved http://www.cnki.ne 工 程 力 学 29 问题的广义解。Yu 和 Qin[10, 11]研究了压电材料热- 力-电多场耦合下的断裂行为。Lu 等[12]研究了三维 热压电材料均匀热流作用下的椭圆孔问题。Shang 等[13]用势函数与 Hankel 变换研究了压电材料轴对 称裂纹问题的热应力。另外，Qin[14]还研究了含多 个孔的热压电材料的力学响应。已有的研究工作 中，涉及到多种边界条件。通常，是将裂纹或椭圆 孔处理成绝热的，即没有任何热流穿过裂纹面。实 际上，可以有部分热流穿过裂纹表面。为此，在文 献[15]研究各向同性情况的基础上，本文进一步研 究含有中心裂纹的正交各向异性板，在远场均匀热 流作用下，在两种不同的裂纹表面温度边界条件 下，温度场的分布问题。有了这一解析结果，即可 进一步分析压电材料多场耦合情况下的断裂行为。 1 裂纹表面维持恒定温度的情况 考虑一正交各向异性无限大板中，含有一个长 度为 2a 的裂纹。无穷远处沿两个坐标轴方向，有 均匀热流作用。热流向量大小与温度梯度大小成正 比，方向相反。无穷远处两个坐标轴方向的温度梯 度分别用Θ,1 ∞ 与Θ,2 ∞ 表示，如图 1 所示。 ∞ Θ,2 ∞ Θ,1 ∞ Θ,2 ∞ Θ,1 x2 x1 r a a 0 远场均 匀热流 远场均 匀热流 图 1 分析模型示意图 Fig.1 Analytical model for the problem 取两个坐标轴分别为导热系数的主轴，则温度 场控制微分方程是[1] 2 2 11 22 2 2 1 2 k k 0 x x ∂ ∂ Θ Θ + = ∂ ∂ (1) 式中 k11 与 k22 分别是沿 x1、x2 方向的热传导系数。 设Θ =T-To，T 是当前温度，To 是参考温度。 微分方程(1)的特征方程是， 11 0 2 k22μ + k = ，有 二个特征根 μ1 与 μ2 。式(1)的通解是 1 [ ( ) ( )] 2 Θφφ = + z z (2) 式中 1 11 22 μ = −ik k/ , 2 11 22 μ = ik k/ (3) 11 22 s = ik k/ , 1 2 z x sx = + (4) i 是单位虚数。由式(2)知， ,1 1 [ ( ) ( )] 2 Θ φφ = + ′ z z ′ ， , 2 [ ( ) ( )] 4 s s Θ φφ z z − = − ′ ′ (5) 现考虑裂纹表面维持一恒定温度不变的情况， 即在裂纹的上、下表面维持恒定的温差Θ 0 ΘLL 0 Θ Θ + − = = 在 L 上 (6) 符号 L 表示裂纹线，即 x2=0 与 −a ≤ x1 ≤ a 。“+” 与“−”分别表示裂纹的上、下表面。式(6)等价于 ,1 ,1 Θ Θ 0 + − = = 在 L 上 (7) 由式(5)、式(7)可得出 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 tt tt tt tt φφ φφ φφ φφ + − + − ⎧⎪ ′′ ′′ + ++ = ⎨ ⎪⎩ ′′ ′′ − −− = (8) 式中 t 为一实变量，表示复变量 z 在裂纹面上的取 值， −ata ≤ ≤ 。至此，将问题化为标准的 Hilbert 问题，解可写成[16] 0 1 2 2 ( ) c cz z z a φ Γ + ′ = − − ， 0 1 2 2 ( ) c cz z z a φ Γ + ′ = + − (9) 比较式(9)中的两式知，系数 0 c 与 1c 是实常数，而系 数Γ是纯虚数。再利用无穷远处的温度梯度边界条 件，可知 1 ,1 c Θ∞ = , ,2 2 s s Γ Θ∞ = − − (10) 对于无内热源的热传导问题，要求对任一闭合曲 线 C 的线积分 ( )d 0 Cφ′ z z = ○∫ 。这一条件对应于流 入闭合曲线 C 的热量与流出的热量相等。由此条 件得出：c0=0。 对式(9)中第 1 式积分，并利用式(6)，最后，得 到温度场的解析解是 2 2 ,1 22 11 ,2 0 φ() / z z a ik k z Θ ΘΘ ∞ ∞ = −− + (11) 22 22 ,1 22 ,2 0 11 1 ( ) 2 ( ) 2 za za i k z z k Θ Θ Θ Θ ∞ ∞ = −+ − − − + (12) 注意，温度梯度场具有 r -1/2 的奇异性，而温度场没 有奇异性，即温度在裂纹尖端为有限值