程 力学 2 裂纹表面垂直裂纹方向维持恒定 组温度曲线，分别对应于a=0,士1， ,5。图 温度梯度的情况 中央的一小段水平线对应于裂纹表面保持一个恒 定的温度，此为给定的边界条件。各条曲线呈V型 如图1所示分析模型，现考虑裂纹表面上垂直 日左、右对称，在远场趋于成平行直线，当常近婴 于裂纹方向维持恒定温度梯度的情况，即 纹位置时变得略有弯曲。以上规律，可通过分析解 ⊙·=⊙=⊙的.在L上 (13) 析式(12)而得出。将式(12)写成 取=0时，即为绝热裂纹的情况。而当，≠0 8=,8(W+既)-a+ 时，有热流穿越裂纹面，此即导热裂纹的情况。所 以，式(13)给出的边界条件包括了绝热裂纹与导热 V-x)2-2)+52+ (19 裂纹的情况。由式(5)、式(13)，可将问题化为标准 的Hilbert问圈 (14 [e'F)+u)计-[pF)+u=0 式中各符号含义同前。Hilbert问题有解析解，利用 无穷远边界条件可确定出待定系数，解可写成 e)=∫ed=2 3@3-20P-a+ 6643210121456 4 (@+ (15) 图2边界条件==6。下裂纹附近温度场的分布 -100Km 式中A为积分常数。要确定出常数A,必须给出另 ,5-200Km 外的温度边界条件。可假定，当=0时，除裂致 面外，轴上保持一恒定的温度不变，即 ,-200k/ 日=，对于=0，x上a,x20 (16) 根据式(16.取A=回” 最后，得到第二种温度边界条件下，温度场的 解析解是 -e-28nP-a+ 2 )= (⊙+，56g:+8 4 (17) 0-,(03-203x-)+ 20(+)+,6(e-)+8 (18) ⊙=200K/m,⊙号=100K/m ture distributio n near the crack under the 数值结果与分析讨论 iary condition=with-200K/m and 3.1第一种边界条件的情况 6=100Km 取两个正交方向上的热传导系数分别为压电 对于给定的x2,由式(19)可知，⊙(x1.x2尸⊙(-x.2) 材料PZT-5H的相应值：k=50WKm,k22=75WKm。 即各条曲线均左、右对称。给定x的情况下，只要 第一种边界条件取为：⊙=⊙=O。=100K,即 x充分大，式(19)可简化成8=⊙x1+⊙5x2+日0， 裂纹的上、下表面上保持一个恒定的相同的温差 从而各条曲线在远场将趋向于成为平行直线。在无 ⊙。图2给出⊙=100K/m,⊙=200K/m时的 穷远处，温度将挡于无穷大或负无穷大。成注意， 1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne30 工 程 力 学 2 裂纹表面垂直裂纹方向维持恒定 温度梯度的情况 如图 1 所示分析模型，现考虑裂纹表面上垂直 于裂纹方向维持恒定温度梯度的情况，即 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = , 在 L 上 (13) 取 0 ,2 Θ = 0 时，即为绝热裂纹的情况。而当 0 ,2 Θ ≠ 0 时，有热流穿越裂纹面，此即导热裂纹的情况。所 以，式(13)给出的边界条件包括了绝热裂纹与导热 裂纹的情况。由式(5)、式(13)，可将问题化为标准 的 Hilbert 问题 0 , 2 8 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 tt tt s s Ft t Ft t φ φ φφ Θ φφ φφ + − + − ⎧ ⎪ ′′ ′′ − +− = ⎨ − ⎪ ⎩ ′′ ′′ +− += (14) 式中各符号含义同前。Hilbert 问题有解析解，利用 无穷远边界条件可确定出待定系数，解可写成 0 22 ,2 ,2 2 ( ) ( )d ( 2 ) z zz z a s s φ φ ΘΘ ∞ = = − −+ ′ − ∫ 0 ,1 ,2 4 ( )z A s s Θ Θ ∞ + + − (15) 式中 A 为积分常数。要确定出常数 A，必须给出另 外的温度边界条件。可假定，当 ,1 Θ 0 ∞ = 时，除裂纹 面外，x1 轴上保持一恒定的温度不变，即 * Θ =Θ0 , 对于 ,1 Θ 0 ∞ = , 1 | | x ≥ a , x2=0 (16) 根据式(16)，可取 * A =Θ0 。 最后，得到第二种温度边界条件下，温度场的 解析解是 ( ) 0 22 ,2 ,2 2 () 2 z za s s φ ΘΘ ∞ = − −+ − 0 * ,1 ,2 0 4 ( )z s s Θ Θ Θ ∞ + + − (17) 0 22 22 ,2 ,2 1 ( 2 )( ) za za s s Θ ΘΘ ∞ = − −− − + − 0 * ,1 ,2 0 1 2 () () 2 zz zz s s Θ Θ Θ ∞ ++ −+ − (18) 3 数值结果与分析讨论 3.1 第一种边界条件的情况 取两个正交方向上的热传导系数分别为压电 材料PZT-5H的相应值：k11=50W/Km, k22=75W/Km。 第一种边界条件取为： LL 0 ΘΘΘ 100K + − === ，即 裂纹的上、下表面上保持一个恒定的相同的温差 Θ0 。图 2 给出 ,1 Θ 100K/m ∞ = ， ,2 Θ 200K/m ∞ = 时的 一组温度曲线，分别对应于 x2/a=0, ±1, …, ±5。图 中央的一小段水平线对应于裂纹表面保持一个恒 定的温度，此为给定的边界条件。各条曲线呈 V 型 且左、右对称，在远场趋于成平行直线，当靠近裂 纹位置时变得略有弯曲。以上规律，可通过分析解 析式(12)而得出。将式(12)写成 2 2 ,1 1 2 1 (( ) 2 Θ Θ x sx a ∞ = + −+ 2 2 1 2 ,2 2 0 ( )) x sx a x Θ Θ ∞ − −+ + (19) 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Θ/Θo x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 x1/a Θ /Θ0 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km Θ − L =Θ + L =Θ 0=100K, ∞ Θ,1 =100K/m, ∞ Θ,2 =200K/m x2/a =5 图 2 边界条件ΘLL 0 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布： ,1 Θ 100K/m ∞ = , ,2 Θ 200K/m ∞ = Fig.2 Temperature distribution near the crack under the boundary condition ΘLL 0 Θ Θ + − = = with ,1 Θ 100K/m ∞ = and ,2 Θ 200K/m ∞ = 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Θ/Θo x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 x1/a Θ /Θ0 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km Θ − L =Θ + L =Θ 0=100K, ∞ Θ,1 =200K/m, ∞ Θ,2 =100K/m x2/a =5 图 3 边界条件ΘLL 0 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布： ,1 Θ 200K/m ∞ = ， ,2 Θ 100K/m ∞ = Fig.3 Temperature distribution near the crack under the boundary condition ΘLL 0 Θ Θ + − = = with ,1 Θ 200K/m ∞ = and ,2 Θ 100K/m ∞ = 对于给定的 x2，由式(19)可知，Θ (x1, x2)=Θ (-x1, x2)， 即各条曲线均左、右对称。给定 x2的情况下，只要 x1 充分大，式(19)可简化成Θ =Θ,1 ∞ x1+Θ,2 ∞ x2 +Θ 0， 从而各条曲线在远场将趋向于成为平行直线。在无 穷远处，温度将趋于无穷大或负无穷大。应注意