第二章多元函数 a1(50)af1( 从而有△F(0)= A+o() 可n(x).n() a(0)a1(0) F在点的微分dF(x) afm o) af Go) G)=0E2=(s alx 关于向量函数F:DcRn→Rm可微性的充分条件则为,F的各分量函 数厂的一阶偏导数连续,记成F∈C(D) 2-3微分的几何意义: ∫在P(x,y)点可微, →4(x0,y)=f(x0+△x,yo+4y)-f(xa,yo) =A△x+BAy+o() y=fro, yo)+A(x-xo)+Bl-yo)+o( 上式中z=f(x0,y)+4(x-x0)+B(y-y)正是线性函数 其几何上是过点M(xn,y3n,f(xn,y0)的平面 =八(x,y)是过是过点M(x,ynf(xn,)的曲面 因此,∫在P(x0,y0)点可微, 在函数逼近意义下是,在P(xy)某邻域内,函数z=f(x,y) 与线性函数z=f(x0,y0)+4(x-x)+B(y-y) 之差是ρ的高阶无穷小 在几何意义下是,在P(xy),曲面z=f(x,y)与平面 第二章多元函数第二章 多元函数 第二章 多元函数 8 从而有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x o() x f x x f x x f x x f x F x n m m n              +                          = 0 1 0 1 0 1 1 0 0 , F 在 0 x  点的微分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x x f x x f x x f x dF x n m m n                                     = 0 1 0 1 0 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) x x x f f x x F dF x n m           =   = 1 1 0 关于向量函数 n m F : D  R → R 可微性的充分条件则为, F 的各分量函 数 i f 的一阶偏导数连续，记成 F C (D) 1  . 2-3 微分的几何意义： f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微，  ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = Ax + By + o()  f (x y) = f (x y )+ A(x − x )+ B(y − y )+ o() 0 0 0 0 , , 上式中 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 z = f x , y + A x − x + B y − y 正是线性函数, 其几何上是过点 ( ( )) 0 0 0 0 0 M x , y , f x , y 的平面; z = f (x, y) 是过是过点 ( ( )) 0 0 0 0 0 M x , y , f x , y 的曲面. 因此， f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微， ⚫ 在函数逼近意义下是，在 ( ) 0 0 0 P x , y 某邻域内，函数 z = f (x, y) 与线性函数 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 z = f x , y + A x − x + B y − y 之差是  的高阶无穷小； ⚫ 在几何意义下是，在 ( ) 0 0 0 P x , y ，曲面 z = f (x, y) 与平面