充分性。设任意给定的E>0,存在正整数N=NE),使得对一切 m>n>N与一切x∈D,成立 1un()+n()++()=)-(x) 固定x∈D,则数项级数∑un(x)满足 Cauchy I收敛原理,因而收敛。设 Sx)=∑ x∈D 在∑1(x)-∑(x<中固定n,令m→O,则得到 u, (x E 对一切xeD成立,因而∑un(x)在D上一致收敛于S(x)充分性。设任意给定的  0，存在正整数 N = N( )，使得对一切 m n N 与一切 xD，成立 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++um (x)│=  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )  2  固定 xD，则数项级数  =1 ( ) n n u x 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 S(x) =  =1 ( ) n n u x ， xD， 在  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )  2  中固定 n， 令m→，则得到 ( ) ( ) 1 u x S x n k  k − =  2    对一切 xD 成立，因而  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛于 S(x)