§4多项式的最大公因式 、多项式的最大公因式 如果多项式(x)既是f(x)的因式,又是g(x)的因式,那么(x)就称为f(x) 与g(x)的一个公因式 定义6设f(x)与g(x)是Px]中两个多项式,P[x中多项式d(x)称为 f(x),g(x)的一个公因式,如果它满足下面两个条件: 1)d(x)是f(x)与g(x)的公因式; 2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式 例如,对于任意多项式f(x),f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式特别 地,根据定义,两个零多项式的最大公因式就是0. 引理如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立,那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式 定理2对于P[x]的任意两个多项式f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公 因式d(x),且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合,即有Px]中多项式u(x),v(x) 使 d(x=u(xf(x)+v(x)g(x) (2) 由最大公因式的定义不难看出,如果d1(x)d2(x)是f(x),g(x)的两个最大 公因式,那么一定有d(x)|d2(x)与d2(x)d1(x),也就是说d1(x)=cd2(x),c≠0 这就是说,两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯 确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式在这个情形, 我们约定,用 (f(x),g(x)) 来表示首项系数是1的那个最大公因式§4 多项式的最大公因式 一 、多项式的最大公因式 如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 f (x) 与 g(x) 的一个公因式. 定义 6 设 f (x) 与 g(x) 是 P[x] 中两个多项式. P[x] 中多项式 d (x) 称为 f (x) ， g(x) 的一个公因式,如果它满足下面两个条件： 1） d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式； 2） f (x) ， g(x) 的公因式全是 d (x) 的因式. 例如，对于任意多项式 f (x) ， f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式.特别 地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是 0. 引理 如果有等式 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，那么 f (x) ， g(x) 和 g(x) ，r(x) 有相同的公因式. 定理 2 对于 P[x] 的任意两个多项式 f (x) ，g(x) ，在 P[x] 中存在一个最大公 因式 d (x) ，且 d (x) 可以表成 f (x) ，g(x) 的一个组合，即有 P[x] 中多项式 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . (2) 由最大公因式的定义不难看出，如果 ( ), ( ) 1 2 d x d x 是 f (x) ， g(x) 的两个最大 公因式，那么一定有 ( )| ( ) 1 2 d x d x 与 ( )| ( ) 2 1 d x d x ，也就是说 d1 (x) = cd2 (x),c  0 . 这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一 确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形， 我们约定，用 （ f (x) ， g(x) ） 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式