定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法( division algorithm) 例设 f(x)=x2+3x3-x2-4x-3 g(x)=3x3+10x2+2 求(f(x),g(x),并求u(x),v(x)使 d(x)=u(xf(x)+v(xg(x) 注:定理2的逆不成立例如令 ∫(x)=x,g(x)=x+1, 则 x(x+2)+(x+1)(x-1)=2x2+2x-1 但2x2+2x-1显然不是f(x)与g(x)的最大公因式 但是当(2)式成立,而d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式,则d(x)一定是f(x) 与g(x)的一个最大公因式 二、多项式互素 定义7P[x中两个多项式∫(x),g(x)称为互素(也称为互质)的,如果 (f(x),g(x)=1 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦 然. 定理3P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是有P[x中多项式 l(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 定理4如果(f(x),g(x)=1,且∫(x)|g(x)h(x),那么 (x)|h(x)定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设 ( ) 3 4 3 4 3 2 f x = x + x − x − x − ( ) 3 10 2 3 3 2 g x = x + x + x − 求（ f (x) ， g(x) ），并求 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . 注：定理 2 的逆不成立.例如令 f (x) = x, g(x) = x +1, 则 ( 2) ( 1)( 1) 2 2 1 2 x x + + x + x − = x + x − . 但 2 2 1 2 x + x − 显然不是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式. 但是当(2)式成立，而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个公因式，则 d (x) 一定是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式. 二、多项式互素 定义 7 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 称为互素（也称为互质）的，如果 ( f (x), g(x)) = 1 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦 然. 定理 3 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 互素的充要条件是有 P[x] 中多项式 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1. 定理 4 如果 ( f (x), g(x)) = 1 ，且 f (x) | g(x)h(x) ,那么 f (x) | h(x)